Tengo que fijar el precio de una opción asiática (es decir, media) de "pago extranjero". Por lo tanto, el pago es:
$$\left(\frac{A_T - K}{A_T}\right)^{+} = \left(1 - \frac{K}{A_T}\right)^{+} = K \left(\frac{1}{K}-\frac{1}{A_T}\right)^{+}$$
donde $A_T$ es la media aritmética, al vencimiento $T$ de algunos tipos de cambio al contado. Por ejemplo $A_T = \sum_{i=1}^N w_i S_{t_i}$ para los tipos de cambio al contado $S_{t_i}$ y pesos $w_i$ . En el caso reducido $N = 1$ simplemente tenemos una opción vainilla europea, que podemos valorar a través de la simetría nacional-extranjera, como en https://quant.stackexchange.com/a/44541/43050 .
Mi pregunta es: ¿Podemos utilizar la misma simetría nacional-extranjera para la opción asiática por ejemplo, si aproximamos la distribución de $A_T$ como lognormal a través de la coincidencia de momentos? Siguiendo la lógica del caso vainilla, pondríamos $\frac{dP^f}{dP^d}\big|_t = \frac{A_t B^f_t}{A_0 B^d_t}$ , donde $B^d_t$ y $B^f_t$ son los valores respectivos de las cuentas del mercado monetario nacional y extranjero en el momento $t$ y suponiendo que podamos demostrar que la expectativa es $1$ así que es un derivado real de Radon-Nikodym. Entonces tendríamos:
\begin{align*} E^f\bigg( \frac{1}{B^f_T A_T} (A_T-K)^+\bigg) &= E^d\bigg(\frac{A_T B^f_T}{A_0 B^d_T} \frac{1}{B^f_T A_T} (A_T-K)^+\bigg)\\ &= \frac{1}{A_0}E^d\bigg(\frac{1}{B^d_T} (A_T-K)^+\bigg), \end{align*}
reduciéndose así al caso del pago doméstico, cuyo precio conocemos (a través de la equiparación de momentos). ¿Tiene esto algún sentido y, si no, por qué no? Si el enfoque de la simetría no funciona, ¿podemos utilizar directamente la equiparación de momentos en la media armónica? Sólo he visto que se discute la igualación de momentos en el caso aritmético. Muchas gracias por adelantado.
