¿Cuándo se pueden eliminar los subíndices de tiempo? Ejemplo de Angrist y Kugler (2003)

Question

No es la primera vez que me lo pregunto, pero en este artículo empiezan realmente con un problema de maximización dependiente del tiempo y luego eliminan todos los subíndices temporales.

Antecedentes : Tienen un problema de maximización de beneficios que dice $$ \Pi = \phi^{t} \sum_{i=0}^\infty \left \{f[\theta_{g}(N_t,I_t)] - w_{Nt}N_t - w_{It}I_{t}-\lambda C_N N_{t-1}\right\} $$ donde $\Pi$ son los beneficios, $\phi^{t}$ es el factor de descuento, $f[\theta_{g}(N_t,I_t)$ es la salida, $N_t$ y $I_t$ es un tipo de trabajo diferente, $w_{Nt}$ y $w_{It}$ los salarios respectivos, y $C_N$ un coste de cocción para el $\lambda$ trabajadores que se sustituyen en cada periodo.

Pasos : Escriben "Los costes de ajuste son lineales y no hay incertidumbre agregada, por lo que se pueden eliminar los subíndices de tiempo y simplificar el objetivo para que sea:" $$ \Pi = (1-\phi)^{-1} [f(\theta_{g}) - w_{N}N - w_{I}I- \phi \lambda C_N N ] $$

Pregunta : Sólo conocía este paso con la ecuación de Bellmann en el que se simplifica el problema de horizonte infinito en un problema básicamente atemporal de encontrar la función política óptima, pero aquí parece que es literalmente sólo dejar caer la dimensión así. ¿Alguien sabe de forma más general cuándo se puede simplificar un problema como éste? Esta pregunta me interesa también de forma más general porque veo muchos trabajos que escriben básicamente de forma inmediata la versión 2 del problema y no consideran la optimización de la suma de los beneficios a través del tiempo.

Referencia : Angrist, J. D., y Kugler, A. D. (2003). ¿Protector o contraproducente? las instituciones del mercado de trabajo y el efecto de la inmigración unativa. The Economic Journal, 113(488), F302-F331.

Answer 1

Dado que "los costes de ajuste son lineales y no hay incertidumbre agregada", el FOC para $N_t$ es $$f'\theta g_N(N_{t}, I_{t}) - w_N = \phi \lambda C_N$$ . Obsérvese que es exactamente la misma forma para cada periodo. Lo mismo ocurre con $I_t$ . Esto significa que una empresa elegirá los mismos insumos laborales en todos los períodos. En otras palabras, la empresa entra en el estado estacionario inmediatamente en este problema de optimización dinámica. Este no es el caso cuando hay incertidumbre agregada, de modo que $w$ s pueden variar con el tiempo o los costes de ajuste no son lineales, por ejemplo $C_N(N_t-N_{t-1}).$

Como resultado, el beneficio en cada periodo es constante. Por tanto, el valor actual de los beneficios descontados es $$\Pi= \frac{\left[f\left(\theta_{g}\right)-w_{N} N-w_{I} I-\phi \lambda C_{N} N\right]}{1-\phi}$$ .