Cálculo de M en la optimización de la cartera Kelly

Question

Mi pregunta

En: $F^* = C^{1}[MR]$ donde $M$ es un vector de $n$ la rentabilidad de los valores, es la rentabilidad logarítmica, o aritmética, que se pretende utilizar para calcular la tasa de deriva $M$ ?

Antecedentes

Thorp escribe (8.4) (ver página 34 fila 18):

Consideremos primero el caso sin restricciones con un valor sin riesgo (T-bills) con fracción de cartera $f_0$ y $n$ valores con fracciones de cartera $f_1,\cdots,f_n$ . Supongamos que la tasa de rendimiento del valor sin riesgo es $r$ y, para simplificar la discusión, que éste es también el tipo de interés de los préstamos, de los empréstitos y el que se paga por los ingresos de las ventas al descubierto. Sea $C=[s_{ij}]$ sea la matriz tal que $s_{ij},i,j=1,\cdots,n$ es la covarianza del $i$ y $j$ los valores y $M=(m_1,m_2,\cdots,m_n)^T$ sea el vector de filas tal que $m_i,i=1,\cdots,n$ es la tasa de deriva del $i$ de la seguridad.

continuando (Página 34 fila 38)...

Entonces nuestras fórmulas y resultados anteriores para un valor más un valor sin riesgo se aplican a $g_\infty(f_1,...,f_n)=ms^2/2$ . Se trata de un problema estándar de maximización cuadrática. Utilizando(8.1)y resolviendo las ecuaciones simultáneas $g_\infty/f_i=0,i=1,...,n$ obtenemos $F^=C1[MR]$ ,

En la sección 8.2 de Thorps EL CRITERIO KELLY EN LAS APUESTAS DEPORTIVAS Y EN LA BOLSA DE VALORES ) la tabla 7 (pg 31 fila 27) muestra la media de los rendimientos logarítmicos. Más abajo Thorp señala:

Como prueba de sensibilidad, Quaife utilizó valores conservadores (media, desvío estándar) para los parientes de los precios (no sus logaritmos) para el BRK de (1,15, .20), el BTIM de (1,15, 1,0) y el S&P 500 de 1926-1995 de Ibbotson (1998) de (1,125, .204) y las correlaciones del cuadro 7. El resultado fue de fracciones de 1,65, 0,17, 0,18 y 1,00 respectivamente para BRK,BTIM, S&P 500 y T-bills. La tasa de crecimiento media fue de 0,19 y su desviación estándar de 0,30

Al cambiar entre los rendimientos logarítmicos normales y los rendimientos aritméticos, encuentro que $F^*$ Los apalancamientos son mayores cuando se utilizan medias aritméticas en comparación con los rendimientos medios logarítmicos normales para $M$ lo que parece contrario a lo que se describe como una estimación más conservadora.

Answer 1

Thorp define $g_{\infty}$ como el rendimiento logarítmico medio de la cartera a largo plazo. Sostiene que esto se maximiza cuando la cartera se fija

$$F^{*}=C^{-1}(M-R)$$

Aquí está $M$ un vector de tasas de deriva $m_i$ (normalmente se indican con $\mu$ en un movimiento browniano geométrico). Esta es una fórmula bastante estándar hoy en día, véase, por ejemplo, aquí https://faculty.chicagobooth.edu/john.cochrane/research/papers/portfolio_text.pdf (la cartera óptima de crecimiento es un caso especial del modelo CRRA con $\gamma=1$ ).

El índice de deriva de la seguridad $i$ puede estimarse, por ejemplo, como $m_i=y_i+s_i^2/2$ , donde $y_i$ es la media del rendimiento logarítmico y $s_i^2$ es la varianza de los rendimientos logarítmicos. La media de las rentabilidades logarítmicas está por debajo de la deriva debido a una "penalización de la varianza".