Ajuste de precio de delta y gamma de Black-Scholes para una opción de quanto

Question

Una opción de cuanto es un derivado con el activo subyacente y el precio de ejercicio denominados en una divisa, pero el instrumento en sí se liquida en otra divisa. Esto tiene consecuencias para el cálculo de los griegos.

El delta BS mide la tasa de cambio del precio de la opción en relación con el cambio del precio subyacente. gamma BS mide la tasa de cambio de delta BS en relación con el cambio del precio subyacente

Un delta ajustado por precio (delta PA) mide la tasa de cambio del precio de la opción (en la divisa de liquidación) en relación con el cambio porcentual del precio subyacente. gamma PA mide la tasa de cambio de delta PA en relación con el cambio porcentual del precio subyacente

Según este enlace la diferencia entre el delta PA y el delta BS es el precio de la opción (en BTC). Mi interpretación (con tasa de interés = 0, USD y BTC como monedas):

¿También es posible determinar la diferencia entre gamma BS y gamma PA?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} Call_{\rm BTC}=\frac{1}{S}Call_{\rm USD}. \end{align*} El delta ajustado por prima $Delta_{PA}$ se define como el cambio de $Call_{\rm BTC}$ con respecto al cambio del spot en BTC, es decir, \begin{align*} Delta_{PA} &= \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm BTC}}{\frac{\Delta S}{S}}\\ &=\lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm USD}}{\Delta S} - \frac{1}{S}Call_{\rm USD}\\ &=Delta_{BS} - Call_{\rm BTC}. \end{align*} El gamma ajustado por prima $Gamma_{PA}$ se define como el cambio de $Delta_{PA}$ con respecto al cambio del spot, es decir, \begin{align*} Gamma_{PA} &= \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Delta_{PA}}{\Delta S}\\ &=Gamma_{BS} +\frac{1}{S^2}Call_{\rm USD}-\frac{1}{S} \lim_{\Delta S\rightarrow 0}\frac{\Delta Call_{\rm USD}}{\Delta S}\\ &=Gamma_{BS} + \frac{1}{S}Call_{\rm BTC} -\frac{1}{S}Delta_{BS}\\ &=Gamma_{BS} - \frac{1}{S}Delta_{PA}. \end{align*} Vea también la Página 19 de este documento; sin embargo, hay algunos errores tipográficos allí.

El propósito de tales definiciones es mantener las unidades. Por ejemplo, el delta siempre está en unidades de BTC, mientras que el gamma está en unidades de $({\rm BTC} \times {\rm BTC})/{\rm USD}$.