Hull White 1 Fórmulas de factores con variables dependientes del tiempo

Question

En el libro de John Hull "Options Futures and Other Derivatives" veo que los precios de los bonos en el modelo de Hull White 1 Factor se especifican de la siguiente manera:

$P(t,T) = A(t,T)e^{-B(t,T)r(t)}$

donde

$B(t,T) = \frac{1 - e^{-a(T-t)}}{a}$

$lnA(t,T) = ln\frac{P(0,T)}{P(0,t)} + B(t,T)F(0,t) - \frac{1}{4a^3}\sigma^2(e^{-aT} - e^{-at})^2(a^{2at} - 1)$

¿Estoy en lo cierto al pensar que estas fórmulas sólo trabajar si $a$ y $\sigma$ son constantes?
Si es así, ¿qué fórmulas debería utilizar si $a(t)$ y $\sigma(t)$ ¿son dependientes del tiempo? He visto algunas referencias a la integración, pero no puedo encontrar un material de origen (en el que confíe) que explique las fórmulas básicas apropiadas que deben integrarse.

Edición: Alternativamente, después de mirar mi propia pregunta... ¿debería crear un conjunto de tarifas a plazo utilizando $P(t_i,t_j)$ donde $t_i$ y $t_j$ son "nudos" en una función lineal a trozos para $a(t)$ y $\sigma(t)$ ?

Entonces, con esos tipos a plazo puedo descontar mis bonos de cupón cero, etc.?

Answer 1

En [Andersen & Piterbarg (2010)] en las páginas 415-417 se describe el llamado Modelo General de Tasa Corta Gaussiana de un Factor, donde se supone que la tasa corta sigue la SDE $$ dr(t)=\kappa(t)(\theta(t)-r(t))dt+\sigma_r(t)dW(t) $$ La fórmula para $P(t,T)$ implica la integración sobre las variables dependientes del tiempo, como has sugerido correctamente. Llegan a la fórmula utilizando que el modelo es un caso especial del marco de Heath-Jarrow-Morton.