Pregunta de práctica sobre Correspondencias y maximización

Question

Estamos aprendiendo sobre la Teoría del Máximo. Suelo tener problemas con las correspondencias en este contexto, así que estoy tratando de trabajar con algunas preguntas de práctica. Empezaré con una notación general de un problema de maximización canónica (que se puede encontrar en la conferencia de Rajiv Sethi aquí pero se ha vuelto a publicar a continuación para que no tengas que ir a buscar).

Conjunto de parámetros: $\Theta$

Juego de elección: $X$

Función objetivo: $f: X \times \Theta \to \mathbb{R}$

Correspondencia de restricciones: $\Gamma: \Theta \rightrightarrows X$

Solución Correspondencia: $\Gamma^*(\theta):= argmax_{x \in \Gamma(\theta)} f(x,\theta)$

El valor maximizado de la función objetivo: $f^*(x, \theta) = \max_{x \in \Gamma(\theta)} f(x,\theta)$

uf.

Bien, ahora consideremos el siguiente problema de maximización parametrizado por $p \in [0,1]$ :

$\max_{(x_1, x_2) \in \mathbb{R}_+^2} x_1 + 5x_2 $

s.t. $px_1 + x_2 \leq 1$

Sé que podemos escribir esto en el formulario: $f(x,p) = x_1 + 5x_2$ y $\Gamma(p) = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2_+: px_1 + x_2 \leq 1 \}$ . También sé que en $\Gamma(0) = \{(x_1,x_2) \in \mathbb{R}^2_+: x_2 \leq 1 \}$ no es de valor compacto, por lo que no podemos aplicar el teorema del máximo.

En la solución de esta cuestión, veo que la correspondencia política óptima es

$\Gamma^*(p) = \begin{cases} \emptyset & \text{if} \: p = 0 \\ \{(1/p,0)\} & \text{if} \: p = (0, 0.2) \\ \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R}_+^2: 0.2x_1 + x_2 = 1 \} & \text{if} \: p = 0.2 \\ \{(0,1)\} & \text{if} \: p = (0.2, 1] \end{cases}$

En $p = 0$ , $\Gamma^*$ es de valor vacío. Para $p>0$ es de valor compacto y hemicontinuo superior. No es hemicontinuo inferior en $p=0.2$ . Sustituyendo $\Gamma^*(p)$ en la función objetivo, la función de valor es $f^*(p) = \max \{1/p , 5 \}$ .

No estoy seguro de cómo, mecánicamente, llegar a la correspondencia política óptima, ya que no hicimos nada de esto en clase, y estoy encontrando escaso material de lectura. Agradecería mucho si alguien pudiera guiarme por los pasos como si fuera un niño de 5 años.

Answer 1

Creo que lo más fácil es notar que como el problema es creciente en ambos argumentos, podemos suponer $px_1 + x_2 = 1$ el presupuesto es vinculante (al menos para $p \not =0$ ).

Sustituyendo nuestra restricción en la función objetivo, tenemos: $$ \max_{x_1} x_1 + 5(1 - p x_1) = x_1(1 - 5p) + 5 $$

Si $1 - 5p<0$ elegimos el más pequeño posible $x_1$ Así que $x_1 = 0$ y por lo tanto $x_2 = 1$ .

Si $1 - 5p = 0$ , cualquier $x_1$ maximizaría lo anterior.

Si $1 - 5 p > 0$ , usted elige el más grande $x_1$ posible, por lo que $x_2 = 0$ y $x_1 = \frac{1}{p}$ .

Si $p = 0$ no hay ninguna restricción en $x_1$ y su función objetivo es ilimitada en $x_1$ Así que elegirías $x_1 = \infty$ Por lo tanto, no existe ninguna solución.