Pago de swap flotante con tipo determinado en la fecha actual en lugar de la anterior

Question

Estoy intentando determinar los pagos de un swap modificado, en el que los pagos flotantes en un momento $T_k$ se realizan en la fecha actual (es decir $L(T_k,T_{k+1})\equiv L_{k+1}(T_k)$ ) en lugar de en la fecha anterior $T_{k-1}$ (es decir, el habitual $L(T_{k-1},T_k)\equiv L_k(T_{k-1})$ ). Quiero demostrar que el tiempo total $t$ de pago (con $\delta_k=T_k-T_{k-1}$ ) de la pierna flotante es $$\sum_{k=1}^n\delta_kL_{k+1}(T_k)[1+\delta_kL_{k+1}(T_k)]P(t,T_{k+1}),$$ donde $\delta_k$ y por lo tanto asumiendo $\mathrm{d}L_{k+1}(t)=\sigma_{k+1}(t)L_{k+1}(t)\mathrm{d}W_{k+1}(t)$ el valor razonable del tipo fijo debe ser $$R=\frac{\sum_{k=1}^n\left[\delta_kL_{k+1}(t)+\delta_k^2L_{k+1}(t)^2\exp\left(\int_t^{T_k}\sigma_{k+1}(s)^2\mathrm{d}s\right)\right]P(t,T_{k+1})}{\sum_{k=1}^n\delta_kP(t,T_k)}.$$ Estaba pensando que $L_{k+1}(T_k)$ no es un $\mathbb{Q}^{T_k}$ -martingale, pero una $\mathbb{Q}^{T_{k+1}}$ -martingale, y así cambiar nuestro par numéraire de $(P(\cdot,T_k),\mathbb{Q}^{T_k})$ a $(P(\cdot,T_{k+1}),\mathbb{Q}^{T_{k+1}})$ debería ayudar, pero estoy atascado con un tiempo flotante- $T_k$ pago de $$P(t,T_{k+1})\frac{P(t,T_{k+1})}{P(t,T_k)}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^{T_{k+1}}}\left[\frac{\delta_kL(T_k,T_{k+1})}{P(T_k,T_{k+1})}\Bigg|\mathcal{F}_t\right],$$ lo que no parece ayudar en lo más mínimo.

Answer 1

Sólo me ocuparé del cálculo de $$E_t^T\left[ \delta L(S,T)P(S,T)^{-1} \right].$$

$$\delta L(S,T)P(S,T)^{-1} = P(S,T)^{-2} - P(S,T)^{-1}$$

$$E_t^T\left[ P(S,T)^{-1}\right] = E_t^T\left[ 1+\delta L(S,T)\right] = 1+ \delta L(t,S,T)$$

$$E_t^T\left[ P(S,T)^{-2}\right] = E_t^T\left[ (1+ \delta L(S,T))^{2}\right]$$ $$= 1+ 2\delta L(t,S,T) + \delta^2 L(t,S,T)^2 \exp\left(\int_t^S \sigma(u)^2 du \right)$$

cuando $$dL(u,S,T) = \sigma(u)L(u,S,T)dW_u$$

en $Q^T$ medida.