El problema del free rider en la teoría de los juegos

Question

Supongamos que una ciudad está construyendo un puente, y que cuesta $B$ . Hay $n$ aldeanos.

La valoración del puente por parte de cada pueblo es información privada, $v_i$ .

Es sabido que esta valoración se extrae de una distribución uniforme $[0,1]$ . $B\in[0,1]$ .

El aldeano sólo puede presentar $0$ o $B$ .

Si un aldeano se somete $B$ Entonces, el puente se construye y todos los demás aldeanos pagan su sumisión.

Si no se construye ningún puente, todo el mundo se $0$ .

¿Cómo construyo un pago esperado un pueblo $i$ ?

Lo que he conseguido es tener 2 escenarios: $v_i>B$ y $v_i\leq B$ .

Pero en cada caso, tengo dos posibles resultados. Para el primer caso,

si todos los demás jugadores se someten $0$ , $i$ debe presentar B, porque $v_i-B>0$ .
si alguien paga $B$ , $i$ debe presentar 0, porque obtiene $v_i$ .

Se obtiene un tipo similar de para el otro escenario.

Pero, ¿cómo podría incorporar esto a la remuneración esperada de $i$ ¿y cómo debo hacer para construir una función de bienestar social?

Me parece que esto es sólo una variación de la subasta de todos los pagos con un espacio de acción discreto para cada $i$ .

Answer 1

Dejemos que $b_i\in\{0,B\}$ sea $i$ de la estrategia de la empresa. Entonces $i$ depende del perfil de la estrategia $(b_i,b_{-i})$ , donde $b_{-i}=(b_j)_{j\ne i}$ .

\begin{equation} u_i(b_i,b_{-i})= \begin{cases} v_i&\text{if $b_i=0$ and $b_j=B$ for some $j\ne i$}\\ 0& \text{if $b_i=0$ and $b_j=0$ for all $j\ne i$}\\ v_i-B&\text{if $b_i=B$} \end{cases} \end{equation}

Así, $b_i=B$ es la mejor respuesta si \begin{equation} u_i(B,b_{-i})\ge u_i(0,b_{-i}) \quad\Leftrightarrow\quad v_i-B\ge (1-\Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i))v_i.\tag{1} \end{equation}

Como el juego es ex ante simétrica, podríamos suponer además que cada $i$ adopta una estrategia de umbral, es decir \begin{equation} b_i=\begin{cases} 0&\text{if $v_i\le\overline v$}\\ B&\text{if $v_i>\overline v$} \end{cases}\tag{2} \end{equation} donde $\overline v$ es un valor de umbral común. Entonces, la probabilidad en $(1)$ puede escribirse como \begin{equation} \Pr(b_j=0,\;\forall j\ne i)=\Pr(v_j\le \overline v,\;\forall j\ne i)=(\overline v)^{n-1},\tag{3} \end{equation} donde la última igualdad se obtiene de la suposición de que $v_j$ son i.i.d. y $v_j\sim U[0,1]$ .

Consolidación de $(1)$ a $(3)$ podemos resolver el valor de corte $\overline v=B^{1/n}$ .