¿No puede ser que haya alguna asignación que sea óptima de Pareto que no sea la que maximiza la utilidad esperada del primer inversor? Tenía entendido que el óptimo de Pareto significaba que no había forma de mejorar a una persona sin empeorar a otra.
Permítanme considerar el caso de una economía de recursos simple, de manera que no tengamos que preocuparnos por las variables aleatorias o las utilidades esperadas. Sin embargo, los argumentos se trasladan directamente a ese caso también.
Dejemos que $W$ sea el importe total de la dotación disponible. A continuación se ofrece la definición de una dotación factible.
Definición: decimos que $(w_1, \ldots, w_H) \in \mathbb{R}^{nH}_+$ es un asignación factible si $\sum_{i = 1}^H w_i = W$ y denotamos por $F$ el conjunto de todas las asignaciones factibles.
Ahora, supongamos que cada individuo tiene una función de utilidad estrictamente creciente y continua $u_i: \mathbb{R}^n_+ \to \mathbb{R}$ .
Definición: Una asignación factible $(w_1, \ldots, w_H) \in F$ es Óptimo de Pareto si no existe otra asignación factible $(w_1',\ldots, w_H') \in F$ tal que para todo $i = 1,\ldots, H$ , $$ u_i(w_i) \ge u_i(w_i'), $$ con al menos una desigualdad estricta.
Considere el conjunto de todos los valores de utilidad que pueden alcanzar los individuos $2$ hasta $H$ para alguna asignación factible. $$ \overline{U} = \{(u_2(w_2), \ldots, u_H(w_H)) \in \mathbb{R}^{H-1}|\exists (w_1, w_2,\ldots, w_H) \in F)\}. $$ Fijar valores $(\overline{u}_2,\ldots, \overline{u}_{H}) \in \overline{U}$ y considerar el problema de maximizar la utilidad del individuo 1 sujeto a la restricción de que las utilidades de todos los demás agentes deben ser al menos iguales a su utilidad en el vector $\overline{U}$ : $$ \begin{align*} \max_{w_1, \ldots, w_H} &u_1(w_1), \tag{1}\\ \text{ subject to } &\sum_{i = 1}^H w_i = W,\\ & u_h(w_h) \ge \overline{u}_h, \forall h = 2,\ldots, H \end{align*} $$ En cierto sentido, este problema fijó los valores de utilidad de todos los individuos menos uno en $\overline{u}_h$ . A continuación, busca la asignación que maximiza la utilidad del primer individuo. Cualquier solución de este tipo debe ser el óptimo de Pareto, ya que, de lo contrario, el individuo 1 debería obtener una utilidad mayor. Esto se muestra en el siguiente teorema.
Teorema Supongamos que las funciones de utilidad $u_1(.), \ldots, u_H(.)$ son estrictamente monótonas y continuas. Entonces $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast) \in F$ es el óptimo de Pareto si y sólo si existen valores $(\overline{u}_2,\ldots, \overline{u}_H) \in \overline{U}$ tal que $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast)$ resuelve $(1)$ .
Prueba: Dejemos que $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast) \in F$ sea el óptimo de Pareto. Definir $\overline{u}_h = u_h(w_h^\ast)$ para todos $h = 2,\ldots, H$ . Tenemos que $(\overline{u}_2,\ldots, \overline{u}_H) \in \overline{U}$ . Entonces, si $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast)$ no resuelve $(1)$ debe haber una asignación $(w_1, \ldots, w_H) \in F$ tal que para $h \in \{2,\ldots, H\}$ : $$ u_h(w_h) \ge \overline{u}_h = u_h(w_h^\ast) $$ y: $$ u_1(w_1) > u_1(w_1^\ast). $$ Sin embargo, esto implica que $(w_1, \ldots, w_H)$ Pareto domina la asignación $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast)$ una contradicción.
A la inversa, supongamos que $(w_1^\ast,\ldots, w_H^\ast) \in F$ resuelve $(1)$ y asumir, hacia una contradicción que hay una asignación $(w_1, \ldots, w_H) \in F$ que Pareto domina $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast)$ . Esto da que para todos los $h \in \{2,\ldots, H\}$ : $$ u_h(w_h) \ge u_h(w^\ast_h) \ge \overline{u}_h, $$ y $$ u_1(w_1) \ge u_1(w_1^\ast), $$ con al menos una desigualdad estricta. Si la desigualdad estricta es para el agente $1$ entonces vemos que $(w_1, \ldots, w_H)$ mejora la solución $(w_1^\ast, \ldots w_H^\ast)$ para el problema $(1)$ que es una contradicción. Por lo tanto, supongamos que $u_k(w_k) > u_h(w_k^\ast) \ge \overline{u}_k$ para algunos $k \ne 1$ .
Dado esto, por monotonicidad estricta, debe haber al menos un bien en $w_k$ cuyo importe es estrictamente superior al importe en $w_k^\ast$ . Sea $j$ sea así de bueno y deje que $1_j$ sea el vector de todos los ceros excepto en la posición $j$ .
Ahora toma un $\varepsilon > 0$ lo suficientemente pequeño como para que $$ u_k(w_k - \varepsilon 1_j) \ge \overline{u}_k, $$ Tal $\varepsilon> 0$ se puede encontrar como $u_k$ es continua. Entonces definamos $(\hat w_1, \ldots, \hat w_H) \in F$ tal que $\hat w_1 = w_1 + \varepsilon 1_j$ , $\hat w_k = w_k - \varepsilon 1_j$ y $\hat w_h = w_h$ para todos $h \in \{2,\ldots, H\} \setminus \{k\}$ . Entonces tenemos que para todos $h \in \{2,\ldots H\}$ : $$ u_h(\hat w_h) \ge \overline{u}_h, $$ y, $$ u_1(\hat w_1) > u_1(w_1) \ge u_1(w_1^\ast) $$ esto significa que $(\hat w_1,\ldots, \hat w_H)$ proporciona una mejor solución para $(1)$ en comparación con $(w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast)$ lo que contradice la optimización de esta última. $\square$
Debido a la concavidad, el óptimo para (4.1) maximiza el Lagrangean". No veo qué tiene que ver la concavidad con esto ni por qué el óptimo para (4.1) también maximiza el Lagrangean.
Las condiciones de primer orden langrangianas son suficientes si la función objetivo es cóncava y las restricciones producen un conjunto convexo. Esto es cierto si las funciones de utilidad son cóncavas. Si no sabe cómo pasar de un problema de optimización al lagrangiano (y viceversa), hay muchos recursos en línea.
En el paso anterior, la indexación de los términos de restricción con los multiplicadores de lagrange comenzó en 2, no en 1. ¿Y cómo demostramos que el óptimo de Pareto resuelve este problema de maximización? No veo cómo se deduce esto del paso anterior.
Consideremos el lagrangiano correspondiente a $(1)$ : $$ (w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast) \in \arg\max_{w_1, \ldots, w_H} u_1(w_1) + \sum_{i = 2}^H \lambda^i [u_i(w_i) - \overline{u}_h] + \mu\left[ \sum_{i = 1}^H w_i - W\right] $$ Aquí he añadido explícitamente el conjunto de restricciones al problema. En tu caso, ya está sustituido en la función de utilidad del primer individuo.
Ahora, definamos $\lambda_1 = 1$ . Entonces podemos reescribir el problema de optimización lagrangiano como $$ (w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast) \in \arg\max_{w_1, \ldots, w_H} \sum_{i = 1}^H \lambda_i u_i(w_i) + \mu \left[\sum_{i = 1}^H w_i - W\right] - \sum_{i = 2}^H \lambda_i \overline{u}_h. $$ La última suma es un término constante. Por lo tanto, eliminarlo de este problema no cambia la solución óptima. Esto da: $$ (w_1^\ast, \ldots, w_H^\ast) \in \arg\max_{w_1, \ldots w_H} \sum_{i = 1}^H \lambda_i u_i(w_i) + \mu\left[\sum_{i = 1}^H w_i - W\right]. $$ Ahora, fijando los valores $(\lambda_1,\ldots, \lambda_H)$ , este es el Lagrangiano correspondiente al siguiente problema de optimización: $$ \begin{align*} \max_{w_1,\ldots, w_H} &\sum_{i = 1}^H \lambda_i u_i(w_i),\\ \text{ subject to: } & \sum_{i = 1}^H w_i = W. \end{align*} $$ Este problema maximiza una suma ponderada de utilidades sujeta a la restricción de recursos. De hecho, este es un resultado más general. Si todas las funciones de utilidad son continuas, estrictamente monótonas y cóncavas, toda asignación eficiente de Pareto resulta de la maximización de una suma ponderada de las utilidades de todos los individuos de la economía. La prueba de esto se basa en un argumento de hiperplano de apoyo.
