Estrategias de máximo y mínimo

Question

Estaba resolviendo un equilibrio estable en el siguiente juego de suma cero de 2 jugadores. Necesito calcular el equilibrio utilizando las estrategias maxmin y minmax. En este juego deberían ser idénticas y coincidir con el equilibrio de Nash de estrategia mixta.

                        P2
               L                R
   L       (0.6,0.4)         (0.8,0.2)

P1

  R        (0.9,0.1)         (0.7,0.3)

Si lo resuelvo formalmente, el pago esperado de P1 será la expresión

$E = 0.6(pq) + 0.8p(1-q) + 0.9(1-p)(q) + 0.7(1-p)(1-q)$

donde p es la probabilidad de que P1 juegue a L y q es la probabilidad de que P2 juegue a L. Ahora, P2 está tratando de minimizar E teniendo en cuenta que P1 está tratando de maximizarla

es decir, min max {E}

y P1 intenta maximizar E teniendo en cuenta que P1 intentará minimizar E, es decir

max min {E}

y viceversa. Esencialmente, ambas estrategias jugadas simultáneamente deberían dar el mismo equilibrio. Cómo hacerlo, ahora estoy atascado en la parte matemática del problema.

Answer 1

La pregunta fue aclarada en los comentarios como

Cómo calcular $\min\limits_q \max\limits_p E(p,q)$ para una función determinada $E(p,q)$ ?

Lo que esta notación significa es que $p$ se elige primero, y $q$ se elige después.

Supongamos que $p$ es un parámetro determinado. Entonces $E(p,\cdot)$ es una función sobre $q$ sólo. Así que se toma el mínimo de la función $E(p,\cdot)$ . En economía esto suele significar tomar la primera derivada con respecto a $q$ . De aquí se obtiene el valor óptimo de $q$ , dado $p$ . Esto es básicamente una función $q^*(p)$ . Así que ya sabes cómo $q$ se elegirá teniendo en cuenta la elección de $p$ . Esto le da la función $E(q^*(p),p)$ . Usted elige $p$ para maximizar esta función. De nuevo, en economía, esto suele significar tomar la primera derivada con respecto a. $p$ .

Con $\max\limits_p \min\limits_q$ el procedimiento es esencialmente el mismo, pero allí se obtiene primero el máximo para $p$ dado $q$ . Esto da como resultado $p^*(q)$ . Con esto, se minimiza $E(p^*(q),q)$ por ejemplo $q$ .

Una nota al margen:
Si $E(p,q)$ es lineal en ambos $p$ y $q$ las funciones $q^*(p)$ y $p^*(q)$ no suelen ser continuas. Para ser más precisos, no son funciones sino mapeos. Como tales, son hemicontinuos superiores, pero eso es muy técnico y puede que no necesites saber lo que significa.