Malas noticias: su cálculo no es del todo correcto
Como usted dice, el precio inicial de una opción de compra europea es $$C(S_0;K,T)= S_0e^{-qT}\Pi_1-Ke^{-rT}\Pi_2. \tag{$ \N - La estrella $}$$ Sin embargo, las probabilidades de ejercicio $\Pi_1$ y $\Pi_2$ dependen del precio de las acciones $S_0$ ¡también! Por lo tanto, se necesita la regla del producto y la regla de la cadena para diferenciar el precio de la opción con respecto a $S_0$ . El mismo problema se aplica al cálculo de la delta en el modelo Black-Scholes. Esto hace que el cálculo sea un poco largo, véase aquí .
Tenga en cuenta que la fórmula $(\star$ ) se aplica a muchos modelos, no sólo al modelo Black-Scholes y al modelo Heston. La fórmula se aplica igualmente al modelo CEV, a los modelos de salto-difusión de Merton y Kou, a los procesos de salto puros (por ejemplo, el modelo de varianza gamma), etc. Es una consecuencia de la cambio de numéraire technique .
Buenas noticias: Los precios de las opciones son homogéneos de orden uno
Supongamos que el precio de las acciones se modela como $S_t=S_0e^{X_t}$ , donde $X_t$ es un proceso estocástico normalizado a $X_0=0$ que no depende de $S_0$ . Así, duplicar el precio de las acciones de hoy también duplica los precios de las acciones futuras. Aunque no todos los modelos satisfacen esta propiedad, muchos lo hacen (por ejemplo, todos los que he mencionado anteriormente). Recordemos que la fijación de precios neutrales al riesgo sugiere \begin{align*} C(S_0;K,T)=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\max\{S_T-K,0\}\right]. \end{align*} La homogeneidad de orden uno significa simplemente que para cualquier $\lambda>0$ , \begin{align*} C(\lambda S_0;\lambda K,T)=e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}_0\left[\max\{\lambda S_T-\lambda K,0\}\right]=\lambda C(S_0;K,T). \end{align*} Diferenciando ambos lados con respecto a $\lambda$ (utilizando la regla de la cadena multivariante) da $$ S_0\frac{\partial C}{\partial S_0}+K\frac{\partial C}{\partial K}=C. \tag{$ |star $}$$ Comparando los coeficientes de las ecuaciones ( $\star$ ) y $(\star\star$ ), obtenemos \begin{align*} \frac{\partial C}{\partial S_0} &= e^{-qT}\Pi_1>0,\\ \frac{\partial C}{\partial K} &= -e^{-rT}\Pi_2<0. \tag{$\star\star\star$} \end{align*}
Algunas notas
Porque $\Pi_1$ y $\Pi_2$ son probabilidades y están acotadas entre 0 y 1, sabemos que también lo es la delta de una opción de compra (ignorando la rentabilidad de los dividendos). Se puede utilizar la paridad put-call para obtener un resultado similar para las opciones de venta europeas. El cálculo anterior está estrechamente relacionado con Teorema de Euler sobre las funciones homogéneas . Si calcula $\Pi_1$ como una integral impropia de la función característica del precio logarítmico de las acciones, $\varphi$ se puede calcular el delta explícitamente mediante $\frac{\partial \varphi(u)}{\partial S_0}=\frac{iu}{S_0}\varphi(u)$ que se mantiene para los modelos de precios de acciones homogéneos.
Ecuación ( $\star\star\star)$ vincula la función de distribución neutra del riesgo, $\Pi_2$ a un derivado (observable) de los precios de las opciones de compra. Diferenciando esta ecuación una vez más con respecto al precio de ejercicio $K$ da el célebre resultado de Breeden y Litzenberger (1978) .
