Definición de los tipos de interés en el modelo de árbol binomial

Question

Estoy estudiando las matemáticas financieras del texto de Shreve. Tengo dos problemas.

1) "para un árbol binomial con tres pasos, donde $S_0=20$ , $u=1.05$ , $d=.95$ y el tipo de interés libre de riesgo continuamente compuesto es del 5% (nota, necesitamos transferir primero el tipo de interés continuamente compuesto para que sea equivalente al tipo de interés compuesto anualmente)..."

2) Para un árbol binomial de tres pasos en el que $S_0=10$ , $u=1.15$ , $d=.9$ y la tasa libre de riesgo efectiva anual es del siete por ciento...

No sé exactamente qué significan estos tipos de interés desde el punto de vista matemático. Estoy familiarizado con la configuración muy básica de un modelo de árbol binomial, donde suponemos que no hay arbitraje y $d<1+r<u$ y esto $r$ es el tipo de interés que se acumula sobre la inversión en el mercado monetario para cada paso en el tiempo. En la pregunta 1, ¿qué significa que el interés se componga continuamente si el modelo binomial es de tiempo discreto? Para la segunda pregunta, no sé qué significa el tipo de interés efectivo anual ni qué relación tiene con esto $r$ (Creo que no está definido en el texto). Cualquier ayuda para aclarar estas definiciones sería muy apreciada.

Answer 1

Aunque los pasos sean discretos, podemos expresar la tasa libre de riesgo $ r $ como una tasa continuamente compuesta - todo lo que esto implica es que, si cada paso de tiempo es $ \tau $ unidades de tiempo, la tasa de descuento que hay que aplicar a los pagos en el siguiente nodo es $ e^{-r \tau} $

También podemos describir el tipo libre de riesgo como su tipo efectivo anual, que se suele denominar $ R $ que no es más que la tasa anual simple que implica la misma fuerza de interés que una tasa compuesta. Si $ r $ es el tipo compuesto continuo, entonces tenemos $ 1 + R = e^{r} $ mientras que para un tipo compuesto trimestral $ r_{q} $ , $ R = (1 + \frac{r_{q}}{4})^{4} $ . Si tiene tipos cotizados en diferentes bases (por ejemplo, mensual, trimestral o semestral), trasladarlos a sus respectivos tipos efectivos anuales le permite comparar más fácilmente la fuerza real de los intereses de cada tipo.