Economía de intercambio pura

Question

Necesito ayuda para dibujar el Conjunto de Pareto para una economía Edgeworth. Sé cómo encontrar la curva de contrato dada una asignación, y piense en que acaba siendo el equilibrio competitivo, pero dibujar la línea de Pareto es mucho más difícil de lo previsto.

Nos dan 2 bienes y 2 agentes, con utilidad logarítmica $(\alpha_i > 0)$ :

$$u_i(x_i) = \alpha_i \ln x^1_i + \ln x^2_i$$

Obtenemos la condición de tangencia:

$$\alpha_1 \frac{x_1^2}{x_1^1} = \alpha_2 \frac{x_2^2}{x_2^1}$$

Y combinarlo con las limitaciones de recursos:

$$x_1^1 + x_2^1 = r^1$$ $$x_1^2 + x_2^2 = r^2$$

Mucho álgebra:

$$\alpha_1 \frac{x_1^2}{x_1^1} = \alpha_2 \frac{r^2 - x^2_1}{r^1 - x^1_1}$$

$$\implies \alpha_1 (x^2_1 r^1 - x^2_1 x^1_1) = \alpha_2 (x^1_1 r^2 - x^1_1 x^2_1)$$

$$\implies \alpha_1 x^2_1 r^1 - \alpha_2 x^1_1 r^2 = (\alpha_1 - \alpha_2) x^1_1 x^2_1$$

$$(\alpha_1 \cdot \frac{1}{x^1_1} \cdot r^1) - (\alpha_2 \cdot \frac{1}{x^2_1} \cdot r^2) = \alpha_1 - \alpha_2$$

Lo que nos lleva:

$$\boxed{x_1^1 = \frac{\alpha_1 r^1 x_1^2}{\alpha_1 x_1^2 - \alpha_2 x_1^2 + \alpha_2 r^2}}$$

Para nuestro Conjunto de Pareto. (También se podría resolver en términos de $x_1^1$ .)

Como señala Denesp, si $\alpha_1 = \alpha_2 - r^1 = r^2$ entonces $x_1^1 = x_1^2$ .

La pregunta es, ¿cómo podría dibujar esto para diferentes valores de $\alpha$ ? ¿Cuál es la intuición que hay detrás de la pendiente?

Answer 1

Como usted señala en su pregunta, los puntos (internos del) conjunto de Pareto están definidos por $$ x_1^1 = \frac{\alpha_1 r^1 x_1^2}{\alpha_1 x_1^2 - \alpha_2 x_1^2 + \alpha_2 r^2} $$ Para examinar mejor esta curva, vamos a tratarla como una función. Sea $$ f(x) = \frac{\alpha_1 r^1 x}{\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2}. $$ Como dije en mi comentario $$ f(0) = 0 \mbox{ and } f(r^2) = r^1, $$ para que el conjunto vaya efectivamente de una esquina a otra. En el medio tiene $$ \frac{d \ f(x)}{d x} = \frac{\alpha_1\alpha_2r^1r^2}{\left(\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2\right)^2} $$ y $$ \frac{d^2 f(x)}{dx^2} = 2 \cdot \frac{(\alpha_1\alpha_2r^1r^2) \cdot (\alpha_2-\alpha_1)}{\left(\alpha_1 x - \alpha_2 x + \alpha_2 r^2\right)^3}. $$ La primera derivada es siempre positiva porque $r^2 > x$ y todos los demás parámetros son positivos. Por la misma razón, el signo de la segunda derivada depende del signo de $\alpha_2-\alpha_1$ .
Así, el conjunto de Pareto será una curva estrictamente creciente, que es convexa si el agente 2 valora el bien 1 "relativamente más", cóncava si el agente 1 valora el bien 1 "relativamente más", y una línea recta si lo valoran "relativamente igual".