Si $\succsim$ es transitivo pero irreflexivo, entonces es asimétrico, prueba

Question

Si $\succsim$ es transitiva pero irreflexiva, entonces es asimétrica.

esta es mi prueba:

Supongamos que $\succsim$ no es asimétrica, lo que significa que para cualquier $x,y \in X$ $x\succsim y \rightarrow y \succsim x$ . Por definición $\succsim$ es transitiva, es decir, para cualquier $x, y, z \in X$ tenemos $x \succsim y$ & $y\succsim z$ $\rightarrow$ $x \succsim z$ . Así que como estamos suponiendo $\succsim$ es simétrica: $y\succsim x \rightarrow x \succsim$ y. Ahora bien, como $\succsim$ es transitivo $y \succsim x$ & $x\succsim y \rightarrow y \succsim y$ pero $\succsim$ es irreflexivo por lo que es una contradicción y $\succsim$ es asimétrico.

¿Qué opinas de mi prueba, está mal o no es lo suficientemente clara?

Answer 1

Una relación que no es asimétrica no tiene por qué ser simétrica. Pero si $\succsim$ no es asimétrico, debe haber elementos $y$ y $x$ de manera que ambos $x\succsim y$ y $y\succsim x$ se mantienen y estos elementos son todo lo que se necesita para llegar a una contradicción.

También, $x\succsim y\implies y\succsim x$ puede ser válida para una relación asimétrica, es decir, cuando $x\succsim y$ no se sostiene.

También me gustaría señalar que "cualquiera" es ambiguo aquí y podría leerse como "todos" en lugar de en lugar de "algunos".