Resolución de un modelo LRE en forma King-Watson mediante algoritmos alternativos

Question

Tengo un modelo lineal de expectativas racionales que está en la forma King-Watson:

AE_{t}y{t+1} = By_{t} + C_{0}x_{t} + C_{1}x{t+1}  (1)

con el proceso de conducción

x_{t}     = Q \delta_{t}                          (2)
delta_{t} = \rho \delta_{t-1} + G \espilson_{t}   (3)

Tengo un sistema bastante grande y me gustaría resolverlo usando un algoritmo diferente al de King-Watson, como el de Anderson-Moore (pero estoy completamente abierto a cualquier cosa rápida). Sin embargo, hasta ahora he fracasado en la implementación del KW en Anderson-Moore. Alguna idea sobre (i) cómo resolver el problema utilizando el algo de Anderson-Moore, o (ii) un algoritmo diferente que pueda utilizarse?

Ten en cuenta que mi sistema de ecuaciones en (1) tiene unas 1000 líneas.

Este es un ejemplo de juguete para la parametrización

A  = [1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,-1,-1;0,0,0,0];
B  = [0,0,1,0;0,0,0,1;0,0,-1.1,0;0,-0.7,0,1];
C  = [0,0;0,0;4,1;3,-2];
Q  = [1,0;0,1];
RHO= [0.9,0.1;0.05,0.2];
G  = [1,0;0,1];

que debería dar como resultado

\Pi = [1,0,0,0; 0,1,0,0;0,1.225, -21.0857, 3.15714; 0, 0.7, -3, 2];
M   = [0,1.225, -21.0857, 3.15714; 0, 0.7, -3, 2; 0,0,0.9,0.1; 0,0,0.05,0.2];

Answer 1

Los dos enfoques especifican el problema de las expectativas racionales lineales de forma algo diferente, pero se pueden reconciliar las soluciones que producen. Además de la diferencia en la especificación del sistema de ecuaciones, KW utiliza el concepto de "variables predeterminadas" mientras que AM no lo hace.

King y Watson (KW) abordan un modelo de la forma

$$A E_t y_{t+1} = B y_t + C_0E_t x_t +C_1 x_{t+1}\\ x_t=Q \delta_t +G \epsilon_t\\ \delta_t=\rho \delta_{t-1}\\ y_t= \begin{bmatrix} \Lambda_t\\k_t \end{bmatrix}$$

el $k_t$ son variables predeterminadas.

El algoritmo produce soluciones de la forma $$y_t=\Pi s_t\\ s_t=M s_{t-1} + \bar{G} \epsilon_t\\ s_t= \begin{bmatrix} k_t\\ \delta_t \end{bmatrix}$$

Anderson Moore (AM) planteó el problema como

$$H_{-1} w_{t-1} + H_0 w_t + H_{+1} E_t{w_{t+1}} = \psi_{\epsilon} \epsilon_t + \psi_c$$

y producen soluciones de la forma

$$w_t=R w_{t-1}+ \phi \psi_\epsilon \epsilon_t + (I-F)^{-1}\phi\psi_c$$

donde $$\phi=(H_0+H_{+1}R)^{-1}\,\, \text{and} \,\, F=-\phi H_{+1}$$

En la configuración AM, el $w_{t-1}$ se dan como datos y no pueden ser afectados por el $\epsilon_t$ o los valores actuales o futuros de $w_{t+i}\in, \{w_t,w_{t+1},\ldots\}$ . En KW, las variables predeterminadas'' en el momento t sólo dependen de los choques ya realizados. Por lo tanto, el $\epsilon_t$ sólo influye en el futuro $k_{t+i} \in \{k_{t+1},k_{t+2},\ldots\}$ En consecuencia, para cuadrar AM y KW, la datación de algunas de las variables del modelo y sus subíndices temporales serán diferentes.

Establecer

$$w_t= \begin{bmatrix} \Lambda_{t}\\ k_{t+1}\\x_t\\ \delta_t \end{bmatrix}$$

Tendremos que dividir el KW $A= \begin{bmatrix} A_1&A_2 \end{bmatrix}$ y $B=\begin{bmatrix} B_1&B_2 \end{bmatrix}$ matrices para acomodar estas diferencias.

Construir el AMA $H$ como

$$H_{-1}=\begin{bmatrix} 0&-B_1&0&0 \\ 0&0&0&-Q\\ 0&0&0&-\rho \end{bmatrix}\\ H_{0}=\begin{bmatrix} -B_2&A_1&-C_0&0 \\ 0&0&I&0\\ 0&0&0&I \end{bmatrix}\\ H_{+1}=\begin{bmatrix} A_2&0&-C_1&0 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ y $$\psi_c=0 \,\, \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\G\\0 \end{bmatrix}$$

Entonces, encontraremos que $$R= \begin{bmatrix} 0&M_{\Lambda,k}&0&M_{\Lambda,\delta}\\ 0&M_{k,k}&0&M_{k,\delta}\\ 0&0&0&M_{x,\delta}\\ 0&0&0&M_{\delta,\delta}\\ \end{bmatrix}$$

Así que para KW $$M= \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\\ 0&M_{\delta,\delta}\\ \end{bmatrix}$$

$$\phi \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} \bar{\bar{G}}\\ \bar{G} \end{bmatrix}$$

La solución KW para $\Lambda_t$ , $\Pi_\Lambda$ se puede encontrar expresando las primeras filas de R como una combinación lineal de las siguientes filas de R.

$$\begin{bmatrix} M_{\Lambda,k}&M_{\Lambda,\delta} \end{bmatrix}= \Pi_\Lambda \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\\ \end{bmatrix}$$

Ver también Gary Anderson. Resolución de modelos lineales de expectativas racionales: Una carrera de caballos. Computational Economics, 31:95-113, marzo de 2008.