Los dos enfoques especifican el problema de las expectativas racionales lineales de forma algo diferente, pero se pueden reconciliar las soluciones que producen. Además de la diferencia en la especificación del sistema de ecuaciones, KW utiliza el concepto de "variables predeterminadas" mientras que AM no lo hace.
King y Watson (KW) abordan un modelo de la forma
$$ A E_t y_{t+1} = B y_t + C_0E_t x_t +C_1 x_{t+1}\\ x_t=Q \delta_t +G \epsilon_t\\ \delta_t=\rho \delta_{t-1}\\ y_t= \begin{bmatrix} \Lambda_t\\k_t \end{bmatrix} $$
el $k_t$ son variables predeterminadas.
El algoritmo produce soluciones de la forma $$ y_t=\Pi s_t\\ s_t=M s_{t-1} + \bar{G} \epsilon_t\\ s_t= \begin{bmatrix} k_t\\ \delta_t \end{bmatrix} $$
Anderson Moore (AM) planteó el problema como
$$ H_{-1} w_{t-1} + H_0 w_t + H_{+1} E_t{w_{t+1}} = \psi_{\epsilon} \epsilon_t + \psi_c $$
y producen soluciones de la forma
$$ w_t=R w_{t-1}+ \phi \psi_\epsilon \epsilon_t + (I-F)^{-1}\phi\psi_c $$
donde $$ \phi=(H_0+H_{+1}R)^{-1}\,\, \text{and} \,\, F=-\phi H_{+1} $$
En la configuración AM, el $w_{t-1} $ se dan como datos y no pueden ser afectados por el $\epsilon_t$ o los valores actuales o futuros de $w_{t+i}\in, \{w_t,w_{t+1},\ldots\}$ . En KW, las variables ``predeterminadas'' en el momento t sólo dependen de los choques ya realizados. Por lo tanto, el $\epsilon_t$ sólo influye en el futuro $k_{t+i} \in \{k_{t+1},k_{t+2},\ldots\}$ En consecuencia, para cuadrar AM y KW, la datación de algunas de las variables del modelo y sus subíndices temporales serán diferentes.
Establecer
$$ w_t= \begin{bmatrix} \Lambda_{t}\\ k_{t+1}\\x_t\\ \delta_t \end{bmatrix} $$
Tendremos que dividir el KW $A= \begin{bmatrix} A_1&A_2 \end{bmatrix} $ y $B=\begin{bmatrix} B_1&B_2 \end{bmatrix}$ matrices para acomodar estas diferencias.
Construir el AMA $H$ como
$$ H_{-1}=\begin{bmatrix} 0&-B_1&0&0 \\ 0&0&0&-Q\\ 0&0&0&-\rho \end{bmatrix}\\ H_{0}=\begin{bmatrix} -B_2&A_1&-C_0&0 \\ 0&0&I&0\\ 0&0&0&I \end{bmatrix}\\ H_{+1}=\begin{bmatrix} A_2&0&-C_1&0 \\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}$$ y $$\psi_c=0 \,\, \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} 0\\ 0\\G\\0 \end{bmatrix} $$
Entonces, encontraremos que $$ R= \begin{bmatrix} 0&M_{\Lambda,k}&0&M_{\Lambda,\delta}\\ 0&M_{k,k}&0&M_{k,\delta}\\ 0&0&0&M_{x,\delta}\\ 0&0&0&M_{\delta,\delta}\\ \end{bmatrix} $$
Así que para KW $$ M= \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\\ 0&M_{\delta,\delta}\\ \end{bmatrix} $$
$$ \phi \psi_\epsilon= \begin{bmatrix} \bar{\bar{G}}\\ \bar{G} \end{bmatrix} $$
La solución KW para $\Lambda_t$ , $\Pi_\Lambda$ se puede encontrar expresando las primeras filas de R como una combinación lineal de las siguientes filas de R.
$$ \begin{bmatrix} M_{\Lambda,k}&M_{\Lambda,\delta} \end{bmatrix}= \Pi_\Lambda \begin{bmatrix} M_{k,k}&M_{k,\delta}\\ \end{bmatrix} $$
Ver también Gary Anderson. Resolución de modelos lineales de expectativas racionales: Una carrera de caballos. Computational Economics, 31:95-113, marzo de 2008.
