Axioma de continuidad en la teoría de la utilidad esperada

Question

Tomemos la siguiente definición de continuidad.

La relación de preferencia $\succsim$ sobre el espacio de las loterías $\mathcal L$ es continua si para cualquier $L,L',L''\in\mathcal L$ , los conjuntos $$S_1=\{\alpha\in[0,1]:\alpha L+(1-\alpha)L'\succsim L''\}$$ y $$S_2=\{\alpha\in[0,1]:L''\succsim \alpha L+(1-\alpha)L'\}$$ son ambos cerradas.

¿Es necesariamente cierto que $S_1\cup S_2=[0,1]$ ? Si es así, ¿por qué?

Answer 1

Lo es.
Antes de la continuidad, que es una propiedad de la relación de preferencia, la relación de preferencia $\succsim$ mismo ha sido definido para ser una relación binaria que se caracteriza por la transitividad, y, para empezar, por integridad .
Entonces, si $S_1\cup S_2 \neq [0,1]$ significa que existen algunos valores de $\alpha$ en algún lugar de $[0,1]$ Llámalos $\tilde \alpha$ para lo cual

ni

$$\{\tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\succsim L''\}$$

ni

$$\{L''\succsim \tilde \alpha L+(1-\tilde \alpha)L'\}$$

En palabras, para estos $\tilde \alpha$ el par no puede ser ordenado en absoluto . Pero esto contradice el fundamento de integridad que se necesita para obtener incluso una preferencia relación (como por supuesto se utiliza en nuestra teoría. Los psicólogos supongo que no estarían de acuerdo).

También hay que tener en cuenta que la exhaustividad se define sobre todos los pares concebibles, incluso si, en una situación específica, elegimos restringir el espacio de loterías a algo más pequeño. Que las loterías consideradas pertenezcan al espacio de loterías especificado, es realmente irrelevante. La persona que tiene las preferencias tiene que ser capaz de ordenarlas en cualquier caso, incluso como un escenario "hipotético" (aunque estrictamente hablando, para un problema específico tenemos el "lujo" de imponer la exhaustividad sólo en lo que respecta a las loterías disponibles, mientras que "permanecemos agnósticos" en cuanto a la exhaustividad si ampliamos el espacio de loterías. Aun así, este "debilitamiento" en la imposición del axioma de completitud, no aporta realmente ninguna ganancia).