Voy a dar otra pista, más "primitiva" que la ofrecida por @Anoldmaninthesea, para aquellos que aún no están muy familiarizados con la notación y aritmética "big-Oh/little oh".
Lo que estamos examinando aquí es una suma, que, siguiendo la primera "pista" obvia dada, debe descomponerse en tres sumas separadas.
Ahora bien, nos interesa saber qué ocurre con el valor de estas sumas a medida que el número de sumandos llega al infinito... En estos casos, esencialmente estamos buscando si "tenemos suficiente " $N$ " es que la suma infinita llegue en valor a algo finito (dados los supuestos a priori), y en caso afirmativo, si este límite finito es cero o no.
Considere la suma media
$$\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}[-2x_iu_i(\hat{\beta_n}-\beta)\mathbf x_i'\mathbf x_i] = -2(\hat{\beta_n}-\beta)\frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^{n}(x_iu_i\mathbf x_i'\mathbf x_i)$$
$(\hat{\beta_n}-\beta)$ se sacó de la suma porque no depende de la índice $i$ . Depende de $n$ ya que es una función de estimación y no una estimación específica, pero no en $i$ . Los supuestos del modelo nos dicen lo que ocurre con $(\hat{\beta_n}-\beta)$ si permanece sin escalar, como $n\rightarrow \infty$ . En cuanto a los sumandos, $(\mathbf x_i'\mathbf x_i)$ es un $k\times k$ matriz, que no se incluye a sí misma ninguna suma. Así que es finita (el hecho de que las variables aleatorias implicadas tengan un soporte posiblemente infinito no nos molesta -la probabilidad de que tomen el valor "infinito" es cero). Por lo tanto, es sólo la expresión completa $(x_iu_i\mathbf x_i'\mathbf x_i)$ que se multiplica en cardinalidad como $n$ aumenta - y por las suposiciones del modelo sabemos cosas sobre $x_i$ y $u_i$ y lo que ocurre con la media de su producto. Etc.
Un ejemplo no relacionado para mostrar lo que significa este "cuántos $n$ es considerar, por ejemplo, un vector aleatorio como
$$\frac{1}{\sqrt n}\left(\mathbf X'\mathbf X (\hat \beta_n - \beta)\right)$$
Sabemos que este vector aleatorio converge a una distribución multivariante, es decir, no converge a una constante ni diverge. ¿Podemos ver esto en nuestra forma primitiva? Querríamos una varianza asintótica finita. La media asintótica será cero, así que sólo tenemos que examinar
$$V_n=E\left[\frac{1}{\sqrt n}\mathbf X'\mathbf X(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)'\mathbf X'\mathbf X\frac{1}{\sqrt n}\right] = E\left[\left(\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)[(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)']\left(\mathbf X' \mathbf X\right)\right]$$
¿Cuál es el problema con la expectativa anterior? El primer término convergerá a algo finito y distinto de cero (según los supuestos iniciales), el segundo va a cero, el tercero va a infinito (porque incluye sumas cuya cardinalidad irá a infinito). Así que la expectativa sigue siendo de destino indeterminado. Pero si multiplicamos y dividimos por $n$ (nosotros puede hacer eso, todavía no hemos enviado $n$ hasta el infinito) obtenemos
$$V_n= E\left[\left(\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)[n\cdot(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)']\left(\frac{1}{n}\mathbf X' \mathbf X\right)\right]$$
Ahora las cosas empiezan a aclararse: el primer y el segundo término convergerán a los valores esperados, por lo que se pueden sacar del valor esperado externo :
$$V_n\rightarrow \left(\lim_{n\rightarrow \infty} E\frac{1}{n}\mathbf X'\mathbf X\right)\lim_{n\rightarrow \infty} E\left[n\cdot(\hat \beta_n - \beta)(\hat \beta_n - \beta)'\right]\left(\lim_{n\rightarrow \infty}E\frac{1}{n}\mathbf X' \mathbf X\right)$$
El término medio dentro de la expectativa es el "cuadrado" (multivariado) de $\sqrt n (\hat \beta_n - \beta)$ . Sabemos que este último converge a un vector aleatorio de media cero, por lo que el límite del valor esperado de su "cuadrado" es su varianza asintótica, que es finita. Por tanto, tenemos el producto de tres valores esperados asintóticamente finitos, por lo que toda la expresión es finita, y por tanto la varianza de la expresión con la que empezamos es finita, y además, distinta de cero (por los supuestos iniciales habituales del modelo).
