Esto se hace para que la solución sea más general. Si se utiliza una función de utilidad específica, se demuestra el resultado sólo para esa función de utilidad específica y no para otras.
Todavía se puede derivar la ecuación de Euler. Por ejemplo, en un modelo simple de consumo de dos períodos en el que los agentes maximizan su utilidad esperada
$$E[u]=E[\sum_{t=1}^T u(C)_t]$$
donde $t=1,2$ . Dado esto, la ecuación de Euler sería simplemente:
$$u'(C_1)=u'(E[C_2])$$
podría insertar alguna función de utilidad específica en el problema. Por ejemplo, podría utilizar la utilidad cuadrática $E[u] = E[\sum_{t=1}^T C_t-\frac{a}{2} C^2_t]$ (como en el manual de Macroeconomía Avanzada de Romer) que le daría la ecuación de Euler $C_1=E_1[C_2]$ y seguir usando eso pero en el primer caso demuestras tu resultado para todo el rango de la función de utilidad mientras que en el segundo caso sólo para una sola utilidad cuadrática. En la ciencia nos gusta que los resultados sean lo más generales posible, así que normalmente se prefiere el primer enfoque.
En un modelo típico de IS-LM se querrá sustituir alguna función de utilidad porque para la derivación del modelo es importante saber cuál es el consumo óptimo $C^*$ es. Sin embargo, es posible que no lo sustituya de inmediato. Usted es completamente vago en su cita de Woodford (2003), que podría referirse a múltiples fuentes. Por ejemplo, en su libro de 2003 Interest and Prices, en la página 145, donde construye un modelo macro de estilo neokeynesiano, realmente hace suposiciones explícitas sobre el consumo, y en estos modelos macro la utilidad se suele mantener simple, como por ejemplo $U=C-\frac{1}{\gamma}L^{\gamma}$ (Véase, por ejemplo, el mencionado manual de Romer).
