CVA para opciones

Question

Estoy tratando de hacer un simple CVA unilateral para las opciones de compra y venta. Encontré esta fórmula discreta en línea: $$ CVA = \sum_{i=1}^m \frac{EE(t_{i-1})DF(t_{i-1}) + EE(t_i)DF(t_i)}{2} \left( PD(t_i) - PD(t_{i-1}) \right) $$

Y encontré en internet que $EE = \max (S - K,0)$ para una llamada y $EE= \max(K - S,0)$ para una puesta. Entonces, descubrí que $PD = N(d_2)$ para una llamada y que $PD = N(-d_2)$ para una venta. Donde N es la función de distribución acumulativa y d2 es del marco de Black-Sholes.

¿Es correcta esta forma de calcular el CVA?

Además $DF$ debería ser un Factor de Descuento y estaba pensando en utilizar la tasa libre de riesgo utilizada para valorar las opciones. ¿Tiene sentido? Además, no veo la LGD en ningún sitio, ¿por qué?

Estoy buscando un enfoque básico de Monte-Carlo que pueda codificar en Python. No he estudiado finanzas cuantitativas y no tengo conocimientos matemáticos avanzados.

Answer 1

Para ampliar los comentarios de Quantuple:

Probabilidad de incumplimiento

El CVA es el ajuste del precio para tener en cuenta el impago de la contrapartida. Así, se obtiene tomando la suma de las exposiciones futuras esperadas multiplicada por las probabilidades de impago de la contraparte en cada periodo (y por la LGD): $$ CVA = LGD \times \sum_{i=1}^m \frac{DiscountedEE(t_{i-1}) + DiscountedEE(t_i)}{2} \times PD(t_{i-1},t_i) $$

Así que, $PD$ no está relacionado con el subyacente de la opción, sino con la contraparte. Se puede obtener a partir de las comillas de los CDS, o por aproximación mediante la curva de crédito (sector x área x calificación) que suelen proporcionar los proveedores de datos.

Exposición prevista

Si la contraparte incumple, se pierde el valor de la opción, no su valor intrínseco. Por tanto, la exposición no es igual al valor intrínseco de la opción, sino a su precio.

La exposición esperada es entonces igual a la expectativa tomada a través de las trayectorias de Monte Carlo. Para una llamada, por ejemplo: $$ DiscountedEE(t) = \mathbb{E}\left[D(0, t) \underbrace{\mathbb{E} \left[D(t, T) (S(T) - K)^+ |\mathcal{F}_t \right]}_{\text{Call option's price at } t} \right] $$

Se podría, por ejemplo, hacer un Monte-Carlo para la expectativa externa, pero calcular el precio de compra en cada fecha y trayectoria de este Monte-Carlo utilizando una fórmula de forma cerrada.

También podría intentar derivar una fórmula de forma cerrada para la exposición esperada (es una opción compuesta o una opción sobre una opción) dependiendo de los modelos que esté utilizando.