Como se señala en uno de los comentarios, existe una respuesta descriptiva a la pregunta aquí . Sin embargo, aquí el OP ha pedido una prueba rigurosa. No es cierto que si un bien es inferior, también es Gifen. Por el contrario, si un bien es Giffen, es inferior. He aquí una prueba de esto. Obsérvese que utilizo algunas de las propiedades directamente, ya que incluir sus pruebas haría que la respuesta fuera indeseablemente larga.
En primer lugar, algunas definiciones:
Dejemos que $h_i(\mathbf p,u)$ y $x_i(\mathbf p, m)$ sea la función de demanda compensada (o hicksiana) y la función de demanda marshalliana para el bien $i$ respectivamente. Aquí, $\mathbf p$ es el vector de precios, $u: \mathbb R^n \to \mathbb R$ sea la función de utilidad que cumple todas las condiciones de regularidad (cuasi-concavidad, continuidad, etc.), y $m$ es el ingreso.
Formalmente,
\begin{align} \mathbf h(\mathbf p,u) = \arg \min\limits_{\mathbf x} \, \mathbf {p \cdot x} \\ \text{such that } u(\mathbf x) \geq u \end{align}
Además, dejemos que $e(\mathbf p, u)$ sea la función de minimización del gasto para un nivel de utilidad mínimo dado $u$ . Así que, $e(\mathbf p, u) = \mathbf{p\cdot h}(\mathbf p,u)$ .
Para la función de demanda marshalliana:
\begin{align} \mathbf x(\mathbf p,m) = \arg \max\limits_{\mathbf x} \, u(\mathbf x) \\ \text{such that } \mathbf {p \cdot x} \leq m \end{align}
Ahora, desde la dualidad tenemos:
\begin{align} h_i(\mathbf p,u) \equiv x_i(\mathbf p,e(\mathbf p, u)) \\ \end{align}
Diferenciando esta ecuación con respecto a $p_i$ :
\begin{align} \frac{\partial h_i(\mathbf p,u)}{\partial p_i} & = \frac{\partial x_i(\mathbf p,e(\mathbf p, u))}{\partial p_i} + \frac{\partial x_i(\mathbf p,e(\mathbf p, u))}{\partial e}\frac{\partial e(\mathbf p, u)}{\partial p_i} \\ \end{align}
En los términos, $ \frac{\partial x_i(\mathbf p,e(\mathbf p, u))}{\partial p_i}, \frac{x_i(\mathbf p,e(\mathbf p, u))}{\partial e}$ , $e$ no está siendo tratada realmente como una función, así que la sustituimos por $m$ , dando:
\begin{align} \frac{\partial h_i(\mathbf p,u)}{\partial p_i} & = \frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial p_i} + \frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial m}\frac{\partial e(\mathbf p, u)}{\partial p_i} \\ \end{align}
El reordenamiento da:
\begin{align} \frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial p_i} & = \frac{\partial h_i(\mathbf p,u)}{\partial p_i} - \frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial m}\frac{\partial e(\mathbf p, u)}{\partial p_i} \tag1 \end{align}
Ahora, observa las siguientes propiedades:
(1) De la convexidad de las preferencias (o de la cuasi-convexidad de la función de utilidad), $h_i(\mathbf p, u)$ es no creciente en $\mathbf p$ . Por lo tanto, tenemos que:
$$\frac{\partial h_i(\mathbf p,u)}{\partial p_i} \leq 0$$
(2) $e(\mathbf p, u)$ es no decreciente en $\mathbf p$ . Así que tenemos:
$$\frac{\partial e(\mathbf p, u)}{\partial p_i} \geq 0$$
Utilizando estos en $(1)$ podemos decir:
$$\frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial p_i} > 0 \text{ only if}\,\, \,\, \frac{\partial x_i(\mathbf p,m)}{\partial m} < 0$$
Una nota al margen: parece que en algunos lugares (en algunos comentarios y en la respuesta descriptiva citada anteriormente) que un bien Giffen es el que no sigue Ley de la demanda . Esto no es estrictamente cierto. La ley de la demanda se refiere a Hicksian demanda no la demanda marshalliana. Como se puede ver en la prueba, $h_i(\mathbf p, u)$ es siempre que no aumenta en $p_i$ pero $x_i(\mathbf p, m)$ no necesariamente. Por tanto, la ley de la demanda siempre se cumple bajo las condiciones de regularidad de las preferencias.
