El rendimiento decreciente del nivel de vida significa que si se añade una cierta cantidad $\delta$ a los ingresos de una persona de bajos ingresos, entonces el aumento de su nivel de vida es mayor que si se da la misma cantidad a una persona de altos ingresos.
Dejemos que $SL(x)$ ser el nivel de vida de una persona con ingresos $x$ .
Tome una persona con ingresos $x$ y una persona con ingresos $y > x$ y añadamos una cantidad $\delta$ a los ingresos de ambas personas. Entonces deberíamos tener eso: $$ SL(x + \delta) - SL(x) > SL(y + \delta) - SL(\delta). $$ El lado izquierdo es el aumento del nivel de vida de la persona pobre. El lado derecho es el aumento del nivel de vida de una persona rica.
Dividiendo por $\delta$ y tomando el límite para $\delta \to 0$ da: $$ \frac{d SL(x)}{dx} > \frac{d SL(y)}{dy}. $$ El lado izquierdo es el rendimiento marginal del nivel de vida para una persona con ingresos $x$ y el lado derecho es el rendimiento marginal del nivel de vida de la persona con mayores ingresos $y$ .
El rendimiento marginal decreciente significa que este rendimiento marginal disminuye cuando aumenta la renta. Por lo tanto, es menor para el valor más alto $y$ en comparación con el valor más bajo $x$ .
Una función con pendiente decreciente se llama función cóncava. Así que lo que quieres al final es una función que sea
- Aumentando, es decir $SL(x)$ aumenta con $x$
- cóncavo, es decir $dSL(x)/dx$ disminuye con $x$ .
Una función (popular) que satisface estas dos condiciones es la función logarítmica natural. Tenga en cuenta que $d \ln(x)/dx = 1/x$ que efectivamente disminuye con $x$ .
La función que utiliza el banco mundial: $$ SL(x) = \frac{\ln(x) - \ln(x_{min})}{\ln(x_{max}) - \ln(x_{min})}, $$ es sólo una transformación lineal que asegura que:
- $SL(x_{min}) = 0$
- $SL(x_{max}) = 1$ .
Así que la función es:
- aumentando
- cóncavo
- entre 0 y 1
