Acemoglu - Introducción al crecimiento económico - Existencia de una relación unívoca entre el capital humano y el físico

Question

En el libro el autor afirma que la ecuación $(1)$ $$ f_x(x(t),y(t)) - f_y(x(t),y(t)) = a - b \hspace{10mm} (1) $$ donde $f_x(\cdot)$ es la derivada parcial de $f(\cdot)$ con respecto a $x$ y $a,b$ son constantes, junto con la condición $(2)$ $$ f_{xy}(x(t),y(t)) > 0 \hspace{10mm} (2) $$ implica que existe una relación de uno a uno entre $x$ y $y$ de la forma $$ y = \xi(x) $$ donde $\xi(\cdot)$ es de definición única, estrictamente creciente y diferenciable.

¿Cómo podría ir a ver eso? Entiendo que si sustituyo esta versión generalizada por una que utilice una función de producción Cobb-Douglas, por ejemplo, podría verlo más claramente, pero quería entender cómo funciona en general.

Gracias.

Answer 1

Creo que esto necesita un poco de contexto para ser contestado, porque en tu pregunta has omitido toda una serie de supuestos de fondo - este no es un resultado que se mantenga para una función arbitraria.

Las ecuaciones que realmente describen se derivan de la condición de optimalidad de primer orden para un estado estacionario de un Hamiltoniano

$$f_k(k(t), h(t)) − f_h(k(t), h(t)) = \delta_k − \delta_h,$$

donde $f$ es la función de producción, $k$ capital per cápita y $h$ capital humano per cápita y $\delta_k$ y $\delta_h$ son las depreciaciones respectivamente. Además, como se indica en el primer párrafo, usted omite muchos supuestos importantes sobre la función de producción.

Estos supuestos son demasiados para enumerarlos aquí (los supuestos ocupan varias páginas para explicarlos en el propio libro de texto en el capítulo 3.3 en las páginas 85 y siguientes), pero los principales supuestos importantes (y sus implicaciones) son:

• $f$ tiene rendimientos constantes a escala
• $f$ es estrictamente cóncavo en $k$ tal que: $f (k^∗, h^∗)>f_k(k^∗, h^∗)k^∗ + f (0, h^∗) \implies f (k^∗, h^∗)>f_k(k^∗, h^∗)k^∗$
• $f_k(k(t), h(t))>0, f_h(k(t), h(t))>0$ y $f_{kh}(k(t), h(t))> 0 $ implica que la función es monotónicamente creciente.
• Condiciones de Inada.

Esto implica que si se duplican los factores de producción la producción se duplicará y que siempre se querrá utilizar el capital humano y el capital conjuntamente. Esto significa que siempre se querrá aumentar el uso del capital junto con el capital humano en lugar de utilizar sólo un factor.

Ya que cada vez que aumentamos el uso de $k$ también queremos aumentar el uso de $h$ y dado que la diferencia entre la productividad marginal de ambos será siempre constante, debería haber alguna correspondencia uno a uno entre $k$ y $h$ descrito por alguna función $k=\xi(h)$ . También es por esto que el libro de texto asume que $\xi(\cdot)$ es estrictamente creciente, único y diferenciable. Tiene que ser estrictamente creciente porque cuanto más capital humano $h$ que utilicemos, más querremos utilizar el capital ordinario $k$ . Es único dado que de todas las condiciones que impongamos al modelo siempre habrá algún equilibrio único $(k^*,h^*)$ y diferenciable simplemente porque es una función obviamente continua. Además, este resultado no se mantendría para cualquier función arbitraria $f$ .