Resolución de un problema de optimización restringida con un modelo de capital humano de dos periodos

Question

Estoy tratando de resolver un problema de optimización restringida en un modelo de capital humano. La función objetivo es

$\max_{c_1,c_2,\nu} U = u(c_1) + \beta u(c_2)$ ,

sometido a

$c_1 = w +(1-\nu)\theta_1 h_1^a$ y $c_2 = \theta_2 h_2^a$ .

La siguiente lista resume las variables utilizadas:

• $c_t$ es el consumo en el periodo $t$ . Tenga en cuenta que $u(c) = log(c)$ .
• $\theta_t$ es la tasa salarial en el período $t$ .
• $\nu$ es el tiempo empleado en el primer periodo para acumular capital humano. $\nu$ se normaliza para que esté entre [0,1], y $(1-\nu)$ es el tiempo de trabajo en el primer periodo.
• $h_t$ es el capital humano en el período $t$ . Tenga en cuenta que $h_2 = h_1(1+\nu)$ .
• $a$ es la capacidad innata. Juntos, $\theta_t h_t^a$ representa los ingresos del período $t$ .
• $w$ es la riqueza inicial.

Por lo tanto, teniendo en cuenta $(w,a,h_1)$ los individuos eligen el óptimo $\nu$ en el primer periodo que determina el consumo tanto en el primer como en el segundo periodo. $\theta$ es una variable exógena. Ahora resolver este problema de optimización utilizando el método de la ecuación de Lagrange:

$L = u(c_1) + \beta u(c_2) - \lambda_1(c_1 - w -(1-\nu)\theta_1 h_1^a) - \lambda_2(c_2 - \theta_2 h_2^a)$ .

Resolver para $\dfrac{\partial L}{\partial c_1} = \dfrac{\partial L}{\partial c_2} = 0$ da las dos ecuaciones siguientes:

$c_1 = \dfrac{1}{\lambda_1}$ y $c_2 = \dfrac{\beta}{\lambda_2}$ .

Ahora resolviendo para $\dfrac{\partial L}{\partial \nu} = 0$ :

$\dfrac{\partial L}{\partial \nu} = -\lambda_1 \theta_1 h_1^a + \lambda_2 \theta_2 a h_1^a(1+\nu)^{a-1}$ = 0.

Sustituyendo $\lambda_1$ y $\lambda_2$ obtenemos:

$\dfrac{\theta_1 h_1^a}{c_1} = \dfrac{\theta_2 a \beta h_1^a(1+\nu)^{a-1}}{c_2}$ .

Sustituyendo las restricciones de igualdad y resolviendo para $\nu$ obtenemos:

$\dfrac{\theta_1 h_1^a}{w+(1-\nu)\theta_1 h_1^a} = \dfrac{\theta_2 a \beta h_1^a(1+\nu)^{a-1}}{\theta_2 h_1^a (1+\nu)^a}$

$\dfrac{\theta_1 h_1^a}{w+(1-\nu)\theta_1 h_1^a} = \dfrac{a \beta}{1+\nu}$

$\nu = \dfrac{a \beta w + a \beta \theta_1 h_1^a - \theta_1 h_1^a}{(\theta_1 h_1^a)(1+a \beta)}$ .

Lo que no entiendo es por qué $\theta_2$ no desempeña ningún papel en la determinación de la $\nu$ . Lógicamente, los individuos invierten en capital humano en el primer periodo, renunciando a posibles ingresos en el primer periodo, para obtener más ingresos en el segundo periodo. Sin embargo, aunque $\lim_{\theta_2 \to 0}$ esta solución seguirá recomendando a los individuos que inviertan en capital humano en el primer período, exactamente $\dfrac{a \beta w + a \beta \theta_1 h_1^a - \theta_1 h_1^a}{(\theta_1 h_1^a)(1+a \beta)}$ mucho.

Answer 1

El problema es que estás ignorando la división $ \frac {0} {0} $ que está en $ \frac {\partial L} {\partial v} $ . Antes de mirar la solución, y ver que efectivamente cuando $ \theta_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ v ^ {*} = 0 $ Quiero señalar que la primera restricción $ c_ {1} = w - (1 -v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1} $ puede ser más realista y lógico. Es fácil ver que $ \frac {\partial c_ {1}} {\partial v}> 0 $ en la restricción, lo que implica que al ahorrar para invertir en capital humano, su renta aumenta en el primer periodo. Esto implica que no hay compensación entre la inversión en capital humano y el consumo (si el tipo de interés fuera menor que uno se reduciría un poco el problema, pero seguiría siendo intrínsecamente erróneo). Y en segundo lugar $ c_ {1} = w - (1-v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1}$ no permite ahorrar riqueza, sólo ingresos. Una restricción más razonable sería esta $ c_ {1} = (1-v) (w - \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1}) $ \ Voy a ignorar la segunda observación y pasar a responder a tu pregunta, sólo me pareció relevante señalarlo. Vamos a trabajar con esta restricción $ c_ {1} = w + (1-v) \theta_ {1} h_ {1} ^ {a1} $ . Esto no afecta a $ \frac {\partial L} {\partial c_ {1}}, \frac {\partial L} {\partial c_ {2}} $ pero lo hace $ \frac {\partial L} {\partial v} $ . La tercera condición de primer orden sería:

\begin{align} \frac {\partial L} {\partial v} = \lambda_ {1} \theta_ {1} h_ {1} ^ a - - \theta_ {2} h_ {1} ^ a) (1 + v) ^ {1-a} a \lambda_ {2} \beta = 0 \\ \frac {\partial L} {\partial v} = \lambda_ {1} \theta_ {1} - \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a \lambda_ {2} \beta = 0 \end{align}

Derivamos la ecuación de euler introduciendo las restricciones en $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 $ :

\begin{align} \frac {\theta_ {1}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} = \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {\theta_ {2} h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a} } \end{align}

Parece que se puede decir con seguridad que $ \frac {\theta_ {2}} {\theta_ {2}} = 1 \ \forall \theta_ {2} $ pero esto no es cierto cuando $ \theta_ {2} = 0 $ pero no es el caso porque cuando esto ocurre $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 \ \forall c_ {1}, c_ {2}, v $ . Esto queda claro al multiplicar $ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 $ por $ \theta_ {2} $ :

\begin{align} \frac {\partial L} {\partial v} = \frac {\theta_ {1}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} + \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {\theta_ {2} h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a}} = 0 \\ \frac {\partial L} {\partial v} = \frac {\theta_ {1} \theta_ {2}} {w- (1 + v) h_ {1} ^ {a}} + \frac {\beta \theta_ {2} (1 + v) ^ {1-a} a} {h_ {1} ^ {a} (1 + v) ^ {a}} = 0 \\ \frac {\partial L} {\partial v} = 0 \ \forall c_ {1}, c_ {2}, v \end{align}

Por lo tanto, la solución de la ecuación de Euler para $ v $ es válida sólo si $ \theta_ {2} \neq 0 $ . ¿Cuál es el valor óptimo de $ v $ si $ \theta_ {2} = 0 $ ? Como tenemos tres incógnitas y $ v $ sólo aparece en 2 de ellos, no podemos derivar una solución por sustitución. Hay que ver cuál es el efecto de v en la función de utilidad. Para ello, obtenemos los valores óptimos de $ c_ {1} $ y $ c_ {2} $ resolviendo la ecuación de euler (sin sustituir las restricciones y obtenemos lo siguiente:

\begin{align} c_ {1} ^ {*} = \frac {\theta_ {1}} {(1 + v) a} \\ c_ {2} ^ {*} = \frac {\theta_ {2}} {\theta_ {1}} (w (1 + v) ^ {1-a} - (1 + v) ^ {- a} h_ {1} ^ {a} \theta_ {1} = 0 \end{align}

Pero esto implica que $ c_ {2} ^ {*} $ es una solución de esquina, por lo que la restricción $ c_{2} = \theta_ {2} h^ {a} $ no es vinculante, por lo que no es válido. No voy a entrar en muchos detalles sobre el por qué, pero puede aprender más en el capítulo 18 de la obra de Simon y Blume matemáticas para economistas libro. La idea es que si $c_ {2} $ es 0 la restricción de esta variable no se puede cumplir, queda como una desigualdad y es irrelevante para el problema de optimización. Por lo tanto, se convierte en un problema de optimización en 2 verdaderos $ v, c_ {1} $ pero cómo $ \frac {\partial c_ {2} ^ {*}} {\partial v} <0 $ . Por lo tanto, el nivel óptimo de $ v $ es 0? Sin ninguna restricción en el valor de $ v $ la solución es $ v = - \infty $ !!!. Con la restricción su valor óptimo es igual a 0. Nota: esto sólo es cierto si usted hace una modificación de la función de utilidad, de lo contrario el problema de optimización no está definido. Ver explicación en "editar".

Editar

He hecho algunas correcciones a lo que había escrito anteriormente. En ese $ v $ no depende de $ \theta_ {2} $ Sí lo hace; sólo que de forma similar a lo que ocurre cuando se utilizan funciones de utilidad cuasilineales. En este tipo de funciones, el bien que aparece linealmente en la función de utilidad no depende de la renta si se derivan condiciones de primer orden. El problema de esto es que las condiciones de primer orden sólo son válidas, en este caso, cuando las cantidades consumidas de ambos bienes son positivas. Esto viene en cualquier libro de microeconomía intermedia. Resulta que esto es general. Las condiciones de primer orden de un problema de optimización en el que no se especifica explícitamente que los valores de las variables endógenas deben ser mayores o iguales a 0. Esto implica que también habrá valores de los parámetros que hagan que la solución óptima sea 0 en las variables endógenas. En este caso, $ \theta_ {2} $ .

El problema es que cuando $ \theta_ {2} $ es igual a 0, la función objetivo es indefinida $ \theta_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ c_ {2} = 0 \ \Rightarrow \ log (c_ {2 }) = - \infty $ por lo que el valor de $ theta_ {2} = 0 $ no es posible. Pero con ligeras modificaciones como el cambio en la función de utilidad $ log (c_ {2}) $ para $ log (c_ {2} +1) $ se define el problema y sustituyendo la restricción de $ c_ {2} $ en la función de utilidad, se vuelve independiente de $ c_ {2} $ y el problema de optimización se convierte en 2 variables y como $ v $ es sólo un coste, la solución óptima es $ 0 $ con restricción y $ - \infty $ Sin restricciones. Así que cuando $ \theta_{2} = 0 \ \Rightarrow \ v^{*} = 0$ y cuando $ \theta_ {2} \neq 0$ el valor óptimo de $v$ es una constante que sale del problema de la optimización. Así que hay una dependencia, pero se rompe cuando $ \theta_ {2}> 0 $ .

Ahora bien, ¿por qué no hay dependencia cuando $ \theta_ {2}> 0 $ ?. Como comentó @Bertrand, esto podría cambiarse si hubiera desutilidad de la acumulación de capital humano en la función de utilidad. Pero no es la única forma, también se puede permitir ahorrar riqueza para invertir en capital humano, esto creará la dependencia esperada para $\theta_{2}>0$ . Creo que ese cambio es muy razonable; ¿por qué no se permite al agente ahorrar riqueza para invertir en capital humano?

En cuanto a lo que te han dicho sobre lo que pasa cuando $ w = 0 $ De nuevo verás que esto pone más restricciones a los parámetros, de hecho tiene que ser cierto que $ a \beta = 1 $ , de lo contrario el problema de optimización no es definitivo.