PDE para la determinación del precio de los derivados de tipos de interés

Question

Supongamos que el tipo de interés $r(t)$ sigue algunos modelos de tasa corta, dicen Vasicek, por lo que $dr = a(b-r) dt + \sigma dZ$ con constantes $a,b,\sigma$ .

Es bien sabido que el precio del bono de cupón cero $P(r,t)$ en el momento actual $t$ maduración en $T$ con valor nominal 1 sigue (por ejemplo, véase McDonald's Derivatives Markets, 3ª ed, p.758): $$\frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 P}{\partial r^2} + a(b-r) \frac{\partial P}{\partial r} + \frac{\partial P}{\partial t} - r P=0$$ con la condición de límite $P(r,T) = 1$ . Obsérvese que podríamos escribir $P(r,t) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \Big[ e^{- \int_t^T r(u) du} \big| F_t \Big]$ para todos $t \leq T$ .

Tratando de generalizar, para alguna condición suave de $h(r,T)$ dependiendo sólo de $r$ en $T$ : Si definimos $Q(r,t) = \mathbb{E}^\mathbb{Q} \Big[ e^{- \int_t^T r(u) du} h(r,T) \big| F_t \Big]$ para todos $t \leq T$ , hace la siguiente PDE $$\frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 Q}{\partial r^2} + a(b-r) \frac{\partial Q}{\partial r} + \frac{\partial Q}{\partial t} - r Q=0$$ con la condición de límite $Q(r,T) = h(r,T)$ ¿se mantiene?

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} M(r_t, t) &\equiv Q(r_t, t) e^{-\int_0^t r_u du} \\ &=E\left(e^{-\int_0^T r_u du} h(r_T, T) \mid \mathscr{F}_t \right) \end{align*} es una martingala. Además, \begin{align*} dM &= \frac{\partial M}{\partial t}dt + \frac{\partial M}{\partial r} dr_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2 M}{\partial r^2}d\langle r, r\rangle_t\\ &=\left[\frac{\partial Q}{\partial t} e^{-\int_0^t r_u du} - r_t Q(r_t, t) e^{-\int_0^t r_u du}\right]dt+e^{-\int_0^t r_u du}\frac{\partial Q}{\partial r}dr+ \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 Q}{\partial r^2}e^{-\int_0^t r_u du}dt\\ &=e^{-\int_0^t r_u du}\left[\left(\frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 Q}{\partial r^2} +a(b-r_t)\frac{\partial Q}{\partial r} -r_t Q(r_t, t) + \frac{\partial Q}{\partial t} \right)dt + \sigma \frac{\partial Q}{\partial r} dZ \right]. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} \frac{\sigma^2}{2}\frac{\partial^2 Q}{\partial r^2} +a(b-r_t)\frac{\partial Q}{\partial r} -r_t Q(r_t, t) + \frac{\partial Q}{\partial t}=0. \end{align*}