Tengo el siguiente modelo general de SV:
$$ dS = \sigma S dW_S $$ $$ d\sigma = a(\sigma,t) dt + b (\sigma, t) dW_\sigma $$ $$ dW_S dW_\sigma = \rho dt $$ donde $a , b$ son funciones deterministas de $\sigma$ y $t$ sólo, y $\rho$ es constante.
Mi pregunta es la siguiente:
Supongamos que para cualquier valor del spot, en cualquier momento antes del vencimiento de una opción de compra vainilla, existe un strike donde la sensibilidad de la volatilidad implícita a la correlación es cero, es decir $$ \Sigma_\rho = 0 $$ donde los subíndices denotan la derivada parcial, y donde la volatilidad implícita se define, por supuesto, como sigue: $$ C^{BS} (S,t,K,T;\Sigma) = C^{SV} (S,t,K,T;\sigma) $$ donde el subíndice "BS" significa precio Black-Scholes, y "SV" significa precio del modelo de volatilidad estocástica.
¿Qué podemos decir entonces sobre $$ \Sigma_{S \sigma} = ? $$ Mi conjetura es que la derivada de segundo orden anterior será cero en el golpe donde la sensibilidad de la volatilidad implícita a la correlación es cero. Pero no puedo demostrarlo con precisión.
El argumento de la mano es el siguiente. Dado que $\Sigma$ es estocástica, $$ d\Sigma = \Sigma_t dt + \Sigma_S dS + \Sigma_\sigma d\sigma + \frac{1}{2} \Sigma_{S S} (dS)^2 + \frac{1}{2} \Sigma_{\sigma \sigma} ( d\sigma)^2 + \Sigma_{S \sigma} dS d\sigma $$
El término que implica $dS d\sigma$ anterior contendrá $\rho$ y la intuición sugiere que $\Sigma$ sería independiente de $\rho$ si $\Sigma_{S \sigma} = 0$ pero, por supuesto, esto no es una prueba irrefutable.
Estaría más que satisfecho de restringir la pregunta al caso en que $\rho = 0$ para empezar, es decir, una sonrisa simétrica. [No hace falta decir que una sonrisa simétrica no significa que no haya sensibilidad a la correlación].
Se agradece cualquier ayuda. Por cierto, esta es una pregunta de investigación, así que no espero una respuesta completa, pero algunas ideas serían geniales.
