El equilibrio entre las alternativas deterministas y aleatorias en un juego de una sola jugada

Question

Me pregunto cómo analizar el siguiente problema.

Supongamos que jugamos una partida de una sola vez. Tenemos dos opciones. Podemos conseguir $x$ dólares o ganar $y$ dólares con una probabilidad del 50% (o, probablemente, no ganar nada con las mismas posibilidades). ¿Cuál es el valor mínimo que el diseñador del juego debe asignar a $y$ para que elijas la segunda opción?

El juego es de una sola vez. Esto significa que no hay manera de jugarlo varias veces. A mí me funciona de la siguiente manera:

1. si $x$ es de 50 centavos, estoy listo para \$1 at $ y$;
2. si $x$ es \$100 dollars, \$ 300 serán suficientes.
3. si $x$ es de 100 millones de dólares, no elegiré la segunda opción.

Supongo que la decisión depende de tus ingresos, tu tendencia al riesgo, etc. Entonces, ¿qué factores son esenciales para una decisión racional? Y cómo calcular $y(x)$ ?

Answer 1

Supongamos que el jugador es un maximizador de la utilidad esperada, y que la utilidad que obtiene de un pago de $\$ z $ is $ u(z) $, for any $ z $ in $ \ de la que se ha hablado. $ such that $ u$ es estrictamente creciente.

Usted es esencialmente preguntando por los equivalentes de certeza. Llame a $\sigma$ la apuesta que se paga $y$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ y $0$ con probabilidad $\frac{1}{2}$ . Entonces, la utilidad del $\sigma$ (según la hipótesis de la UE) es $U(\sigma) = \frac{1}{2}u(y) + \frac{1}{2}u(0)$ . Esto significa que el jugador es indiferente entre esta apuesta y conseguir $u^{-1}(\frac{1}{2}u(y) + \frac{1}{2}u(0)) = u^{-1}(U(\sigma))$ seguro. Esto se llama el equivalente de certeza de $\sigma$ . Aviso, $U$ transforma una apuesta sobre los beneficios monetarios en utilidades, y $u^{-1}$ transforma las utilidades de nuevo en pagos monetarios. Si $x$ es una apuesta constante entonces $u^{-1}(U(x)) = u^{-1}(u(x)) = x$ .

Si $x$ es mayor que el equivalente de certeza de $\sigma$ el jugador elegirá $x$ . Usted está pidiendo la inversa (si $CE: \sigma \mapsto u^{-1}(U(\sigma))$ está interesado en $CE^{-1}$ ). No obstante, la mecánica subyacente es la misma, una vez especificada la función de utilidad. La página web $y$ que le interesa satisface

$$ y = u^{-1}(2u(x) - u(0)).$$

Sin embargo, la cuestión más profunda aquí es cómo se relaciona el equivalente de certeza con la propia apuesta. En general (para un $u$ ), no se puede decir mucho. Sin embargo, es una práctica común hacer algunas suposiciones estructurales sobre $u$ para responder a las preguntas que usted plantea. Por ejemplo, si suponemos que el índice de utilidad es diferenciable y cóncavo, por ejemplo $u(x) = ln(x)$ . Entonces es relativamente sencillo demostrar que $y(x)$ es creciente y convexo (en términos generales, la diferencia relativa entre $x$ y $y$ es creciente, como sugieres en tu post, aunque no captura la completa reticencia a elegir la perspectiva arriesgada en el tercer ejemplo (aunque esto puede ser capturado por otros modelos más complicados)).

Vale la pena señalar que todo esto supone la UE, que si bien se utiliza ampliamente en las aplicaciones, especialmente en la teoría de los juegos, no está exenta de fallos empíricos. Hay muchos otros modelos "psicológicos" que podrían ofrecer una resolución diferente a su pregunta.