El lema de Ito $f(t,W_t^2)$

Question

Dejemos que $f$ sea una función de $t$ y $W_t^2$ .

a)Encontrar una función $f$ tal que $f(t,W_t^2)$ es un $F_{t^-}$ martingala, con $F$ la filtración browniana.

b)Utilice el lema de Ito para demostrar que $f(t,W_t^2)$ es un proceso con deriva cero.

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Mi intento para la primera parte, tengo $f(t,W_t^2)=W_t^2-t$ .

Para la segunda parte sé que debo usar $$df(t,W_t)=(a\frac{\delta f}{\delta W_t}+\frac{1}{2}b^2\frac{\delta^2f}{\delta W_t^2}+\frac{\delta f}{\delta t})dt+b\frac{\delta f}{\delta W_t}dW_t$$

¿Puedo saber cómo determinar el $a$ y $b$ ? Por el esquema de puntuación veo que es $a=0$ y $b=1$ . ¿Pero cómo? Gracias de antemano.

Answer 1

Como se ha dicho aquí , para $f = f(t, x) ∈ C^{1,2}(\mathbb{R}^2)$ una función determinista y el proceso Ito $$X_t = W_t^2,$$ el proceso estocástico $$Y_t = f(t,X_t)$$ es un proceso Ito y tenemos $$df (t,X_t) = \partial_tf(t,X_t)\,dt + \partial_xf(t,X_t)\,dX_t + \frac{1}{2} \partial_{xx}^2f(t,X_t)(dX_t)^2.$$

Desde $$dX_t = 2W_t dW_t + dt$$ y $$(dX_t)^2 = 4X_t dt,$$ tenemos

$$df (t,X_t) = \left(\partial_tf(t,X_t) + 2X_t \partial_{xx}^2f(t,X_t) +\partial_xf(t,X_t) \right)\,dt +2\partial_xf(t,X_t)W_t dW_t$$

Así que, para hacer $f(t,X_t) = f(t,W_t^2)$ martingala, todo lo que necesitamos son funciones deterministas $f=f(t,x)$ tal que $$\partial_tf(t,x) + 2x\partial_{xx}^2f(t,x) +\partial_xf(t,x) = 0,$$

para todos $t$ y $x$ que reducen la SDE a:

$$df (t,X_t) = 2\partial_xf(t,X_t)W_t dW_t$$

Nota: En su ejemplo:

$$f(t,x)= x- t$$

y $(\partial_xf)(t,x) = 1$ Así que $(\partial_xf)(t,X_t) = (\partial_xf)(t,W_t^2) = 1$

Nota 2: Otro ejemplo (para introducir una segunda derivada no nula en $x$ ) es:

$$f(t,x) = x^2-6xt +3t^2$$

Aquí, $(\partial_xf)(t,x) = 2x-6t$ Así que $(\partial_xf)(t,X_t) = (\partial_xf)(t,W_t^2) = 2W_t^2 -6t$ .

(Ejemplo inspirado en los polinomios de Hermite - cuarto, $H_4(t,x) = x^4-6x^2t+3t^2$ - que sabemos que producen martingalas .)

Answer 2

Respondiendo a la pregunta del título:

Dejemos que $f(t,W_t)=W_t^2-t$ , entonces es más fácil derivar la dinámica utilizando la "fórmula general" del lema de Itô ( referencia , véase la ec. 10) :

$$df(t,W_t)=\frac{\partial f}{\partial t} dt + \frac{\partial f}{\partial W_t} dW_t + \frac{1}{2}\frac{\partial^2f}{\partial W_t^2} dW_t^2$$

donde,

$$\frac{\partial f}{\partial t} = -1, \qquad \frac{\partial f}{\partial W_t} =2W_t, \qquad \frac{\partial^2f}{\partial W_t^2} = 2.$$

Por lo tanto, observamos que:

$$\begin{align} df &= -1 \: dt + 2W_t \: dW_t + \frac{1}{2} \cdot 2 \: dW_t^2\\ &=- dt + 2W_t \: dW_t + dt\\ &=2W_t \: dW_t , \end{align}$$ utilizando que los movimientos brownianos tienen una variación cuadrática finita igual a la escala de tiempo, es decir $dW_t^2=dt$ . Como se ha visto, el proceso tiene una deriva cero.