Derivación de la fórmula de Black & Scholes a partir de un árbol binomial - John C. Hull

Question

Estoy leyendo "Option, Futures and other Derivatives" de John C. Hull, y en el capítulo 13 del apéndice, deriva la fórmula BSM de un árbol binomial.

Cuando construye U2, no entiendo cómo obtener la ecuación 13A.5.

¿Qué método se utiliza para obtenerla, y por qué "a", que es igual a "J", que se define como cantidad de movimientos ascendentes, se utiliza probablemente como variable aleatoria?

Saludos,

Answer 1

En la fórmula de Black Scholes el $N(\alpha)$ le da la probabilidad acumulada, es decir, la probabilidad de que un suceso seleccionado al azar esté por debajo de $\alpha$ .

Para transformar la distribución de su variable en la normal estándar se resta la media y se divide por la desviación estándar. En el párrafo anterior a la fórmula 13A.5 se dice que la media es $np$ y la desviación estándar es $\sqrt{np(1-p)}$ .

Así que:

• $N(\alpha)$ le da la probabilidad acumulada de $\alpha$ en la distribución normal, es decir, la probabilidad de que una selección aleatoria esté por debajo de $\alpha$
• $N\left(\frac{\alpha - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ le da la probabilidad acumulada de $\alpha$ en la distribución normal estándar

Pero como lo que se quiere es la probabilidad de que la selección aleatoria esté por encima de $\alpha$ (y no por debajo), es decir $1 - N(x)$ se puede utilizar el hecho de que la distribución normal es simétrica y simplemente utilizar $N(-x)$ .

Aplicando esta lógica al caso anterior se obtendría lo que se desea:

$U_2 = N\left(-\frac{\alpha - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) = N\left(\frac{np - \alpha}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$

Además, tenga en cuenta que el precio del modelo binomial sólo convergerá al precio de Black Scholes para un número suficientemente grande de ensayos.