¿Cómo aclarar la descripción del supuesto de tendencia común?

Question

De la lectura un papel La forma en que describen la tendencia común es

En concreto, los diseños DID suponen que los factores de confusión que varían entre los grupos son invariables en el tiempo, y los factores de confusión que varían en el tiempo son invariantes del grupo. Los investigadores se refieren a estas afirmaciones gemelas como una tendencia común suposición

El variable de confusión es una variable que afecta tanto a la variable independiente como a la dependiente, causando una tendencia espuria, lo entiendo. Pero no puedo entender claramente el concepto que el documento anterior menciona sobre el supuesto de la tendencia común.

Actualización:

Sólo he reconocido que no he entendido bien algunos términos: " invariante en el tiempo ", " invariante de grupo ", " factores de confusión variables en el tiempo ", y ¿hay algún ejemplo para " factores de confusión que varían entre los grupos "?

Answer 1

La respuesta anterior +1 de tdm ya proporciona un argumento matemático, pero déjame darte una intuición basada en un argumento gráfico.

Considere la siguiente imagen tomada de Salud pública de Columbia . Como muestra el gráfico, la tendencia común es importante porque si el resultado en dos lugares evoluciona de la misma manera (hay una diferencia constante en los resultados, es decir, hay una tendencia común), incluso si el resultado es diferente se puede argumentar que se puede obtener el efecto del tratamiento a partir de la observación del cambio de tendencia entre el tratamiento y el control. Esto controla cualquier inobservable invariable en el tiempo, como por ejemplo la capacidad innata o el coeficiente intelectual entre los grupos, porque las diferencias en estos inobservables invariables en el tiempo ya se reflejan en la diferencia de resultados, pero no deberían afectar a la tendencia después de la intervención (si había una tendencia común antes de la intervención). Añadiendo efectos fijos en el tiempo (lo que es difícil de visualizar) se pueden controlar también los factores variantes en el tiempo (por ejemplo, alguna estacionalidad cíclica) que afectan a ambos grupos.

¿hay algún ejemplo de "factores de confusión que varían entre los grupos"?

Sí, por ejemplo, la mencionada capacidad innata o coeficiente intelectual. Esto puede variar muy bien según los grupos, aunque debería ser invariable en el tiempo.

Answer 2

Considere un escenario con dos periodos de tiempo, $t = 0,1$ y un control $c = 0$ y tratamiento $c = 1$ grupo.

Dejemos que $T = 1[t = 1]$ sea el tiempo ficticio y $C = 1[c = 1]$ sea la variable ficticia del tratamiento. Entonces la regresión DiD viene dada por: $$ y_{c,t} = \alpha_0 + \alpha_1 T + \alpha_2 C + \alpha_3 T\times C + \varepsilon_{c,t} $$ Si hay cofundadores no observados $z_{c,t}$ entonces estos son parte del término de error $\varepsilon_{c,t}$ . Podemos entonces escribir: $$ \varepsilon_{c,t} = \eta_{c,t} + z_{c,t}, $$ donde $\eta_{c,t}$ es sólo ruido (por ejemplo, error de medición), por lo que suponemos que satisface la condición $\mathbb{E}[\eta_{c,t}|T,C] = 0$ . El estimador DiD viene dado por: $$ \mathbb{E}[y_{c,t}|T = 1, C = 1] - \mathbb{E}[y_{c,t}|T = 1, C = 0] -\left(\mathbb{E}[y_{c,t}|T = 0, C = 1] - \mathbb{E}[y_{c,t}|T = 0, C = 0]\right) $$ Calculando esto da:

$$ \begin{align*} &\alpha_3 +\mathbb{E}[z_{c,t}|T = 1, C = 1] - \mathbb{E}[z_{c,t}|T = 1, C = 0],\\ &-\left(\mathbb{E}[z_{c,t}|T = 0, C = 1] - \mathbb{E}[z_{c,t}|T = 0, C = 0]\right),\\ =&\alpha_3 + \mathbb{E}[z_{11} - z_{0,1} + z_{1,0} - z_{0,0}]. \end{align*} $$ Para la identificación, nos gustaría que fuera igual a $\alpha_3$ que requiere que: $$ \mathbb{E}[z_{1,1} + z_{0,0} - z_{0,1} - z_{1,0}] = 0. $$ Un supuesto que conducirá a esta condición es si los cofundadores son variantes temporales pero invariantes de grupo (es decir, no dependen de $c$ ) o variante de grupo pero invariante en el tiempo (es decir, no dependen de $c$ ). Denotando la primera por $x_t$ y el segundo por $y_c$ podemos entonces escribir:
$$ z_{c,t} = x_c + y_t, $$ Así que: $$ \mathbb{E}[z_{1,1} + z_{0,0} - z_{0,1} - z_{1,0}] = \mathbb{E}[(x_1 + y_1) + (x_0 + y_0) - (x_0 + y_1) - (x_1 + y_0)] = 0. $$ Lo que significa que $\alpha_3$ se identifica mediante el estimador DiD.