Valoración de opciones con factores de riesgo dependientes

Question

Estoy un poco atascado con el precio de una opción en la que la acción subyacente está correlacionada con un proceso adicional.

Configuración : Supongamos que tenemos un espacio de probabilidad donde bajo $Q$ la dinámica del stock y un proceso adicional vienen dados por

$$ \begin{align} dS(t) &= S(t)(rdt+\sigma dW_1 (t)) \\[6pt] d\lambda(t) &= c\lambda(t)dt+\xi dW_2 (t) \end{align}$$

donde: $$ W_2 (t)=\rho W_1 (t)+ \sqrt{1-\rho^2}Z(t) $$

$W_1 (t)$ y $Z(t)$ son movimientos brownianos independientes.

La cuestión es ahora cómo determinar la siguiente valoración neutral al riesgo condicional:

$$ E^Q [e^{-\int_0^T\lambda(v)dv} \max(S(T),K) \ | \ e^{-\int_0^T\lambda(v)dv} =x] $$

La última expresión puede reescribirse como

$$ x E^Q [\max(S(T),K) \ | \ e^{-\int_0^T\lambda(v)dv} =x] $$

pero entonces estoy atascado en cómo podemos tratar la dependencia entre $S$ y $\lambda$ .

¡Muchas gracias de antemano por su ayuda!

N.B: $\lambda$ no es el tipo de interés, sino un factor de descuento estocástico.

Answer 1

Tenga en cuenta que \begin{align*} d\left(e^{-ct} \lambda_t \right) &= -ce^{-ct} \lambda_t dt + e^{-ct}d\lambda_t\\ &=\xi e^{-ct}dW_2(t). \end{align*} Entonces \begin{align*} \lambda_t = \lambda_0 e^{ct} + \xi\int_0^t e^{-c(u-t)} dW_2(u). \end{align*} Además, \begin{align*} \int_0^T \lambda_s ds &= \frac{\lambda_0}{c}\left(e^{cT}-1 \right) + \xi\int_0^T \int_0^s e^{-c(u-s)} dW_2(u)ds\\ &=\frac{\lambda_0}{c}\left(e^{cT}-1 \right) + \xi\int_0^T ds \int_u^T e^{-c(u-s)} ds\, dW_2(u)\\ &=\frac{\lambda_0}{c}\left(e^{cT}-1 \right) +\frac{\xi}{c}\int_0^T\left(e^{-c(u-T)}-1 \right)dW_2(u)\\ &\equiv \frac{\lambda_0}{c}\left(e^{cT}-1 \right) + \frac{\xi}{c} X_T, \end{align*} donde \begin{align*} X_T = \int_0^T\left(e^{-c(u-T)}-1 \right)dW_2(u) \sim N\left(0,\ \frac{1}{2c}e^{2cT}-\frac{2}{c}e^{cT}+T+\frac{3}{2c} \right). \end{align*} Además, hay que tener en cuenta que \begin{align*} E\left(W_1(T) X_T \right) &= E\left(\int_0^T dW_1(u) \int_0^T\left(e^{-c(u-T)}-1 \right)dW_2(u) \right)\\ &=\rho \left(\frac{1}{c}e^{cT}-\frac{1}{c}-T \right). \end{align*} Entonces \begin{align*} corr(W_1(T), \, X_T) = \frac{\rho \left(\frac{1}{c}e^{cT}-\frac{1}{c}-T \right)}{\sqrt{T \left( \frac{1}{2c}e^{2cT}-\frac{2}{c}e^{cT}+T+\frac{3}{2c}\right)}}\equiv \rho_0. \end{align*} Podemos entonces suponer que \begin{align*} W_1(T) = \frac{\rho_0\sqrt{T}}{\sqrt{\frac{1}{2c}e^{2cT}-\frac{2}{c}e^{cT}+T+\frac{3}{2c}}}X_T + \sqrt{T\left(1-\rho_0^2\right)}Z, \end{align*} donde $Z$ es una variable aleatoria normal estándar que es independiente de $X_T$ .

Desde \begin{align*} e^{-\int_0^T \lambda_sds} = x, \end{align*} obtenemos que \begin{align*} X_T = -\frac{c}{\xi}\ln x - \frac{\lambda_0}{\xi}\left(e^{cT}-1 \right). \end{align*} Entonces \begin{align*} S(T) &= S(0) e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma W_1(T)}\\ &=S(0) e^{\frac{-\sigma \rho_0\sqrt{T}}{\sqrt{\frac{1}{2c}e^{2cT}-\frac{2}{c}e^{cT}+T+\frac{3}{2c}}}\left(\frac{c}{\xi}\ln x + \frac{\lambda_0}{\xi}\left(e^{cT}-1 \right) \right)} e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)T + \sigma \sqrt{1-\rho_0^2} \sqrt{T} Z}\\ &\equiv \tilde{S}(0) e^{-\frac{1}{2}\sigma^2 (1-\rho_0^2)T + \sigma \sqrt{1-\rho_0^2} \sqrt{T} Z}, \end{align*} donde \begin{align*} \tilde{S}(0) = S(0) e^{\frac{-\sigma \rho_0\sqrt{T}}{\sqrt{\frac{1}{2c}e^{2cT}-\frac{2}{c}e^{cT}+T+\frac{3}{2c}}}\left(\frac{c}{\xi}\ln x + \frac{\lambda_0}{\xi}\left(e^{cT}-1 \right) \right)} e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2\rho_0^2)T}. \end{align*} Por lo tanto, \begin{align*} &\ E\left(e^{-\int_0^T \lambda_s ds} \max(S(T), K) \,|\, e^{-\int_0^T \lambda_s ds} =x\right) \\ =&\ xE\left(K+\max(S(T)-K, 0) \,|\, e^{-\int_0^T \lambda_s ds} = x\right)\\ =&\ x\Big(K + \tilde{S}(0)\Phi(d_1)-K\Phi(d_2) \Big), \end{align*} donde $\Phi$ es la función de distribución acumulativa de una variable aleatoria normal estándar, \begin{align*} d_1 = \frac{\ln \frac{\tilde{S}(0)}{K} + \frac{1}{2}\sigma^2 (1-\rho_0^2)T}{\sigma \sqrt{(1-\rho_0^2)T}}, \end{align*} y \begin{align*} d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{(1-\rho_0^2)T}. \end{align*}