Demostrar que $Ae^{rt}$ es una solución de la ecuación de Black-Scholes. ¿Por qué debería ser así?

Question

Lo siguiente está tomado de Conceptos y práctica de las finanzas matemáticas de Mark Joshi, segunda edición, ejercicio $5.6$ .

Pregunta: Demuestre que $Ae^{rt}$ es una solución de la ecuación de Black-Scholes. ¿Por qué debería ser así?

Recordemos que la ecuación de Black-Scholes es $$\frac{\partial V}{\partial t} + rS\frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} S^2\sigma^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = rV$$ donde $V=V(t,S_t)$ es el valor de la opción europea de compra o de venta, $r$ es el tipo de interés sin riesgo y $\sigma$ es la volatilidad.

Se puede comprobar fácilmente que $Ae^{rt}$ satisface la ecuación anterior. Para explicar por qué esto es así, supongo que tenemos que inventar una opción europea cuyo resultado sea $Ae^{rt}$ para justificarlo.

Desde $S_t$ sigue un movimiento browniano geométrico con respecto a la medida de probabilidad neutral al riesgo, por lo que $$S_t = S_0 e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)t + \sigma W_t}.$$ Creo que en este caso, tomamos $\sigma = 0$ para obtener ese $$S_t = S_0 e^{r t}.$$ Así que $A=S_0.$ Por lo tanto, $V(t,S_t)=S_0 e^{rt} = S_t$ es una opción de compra europea con precio de ejercicio cero. Esto justifica que $Ae^{rt}$ satisface la ecuación de Black-Scholes.

¿Es correcto?

Answer 1

Aunque tu planteamiento es correcto, generalmente lo que la gente haría es que encontrar la derivada de la ecuación por ejemplo $V(t,S_t)=Ae^{rt}$ . \begin{eqnarray} &\frac{dV}{dt}=rA e^{rt}\\ &\frac{dV}{dS}=0 \\ &\frac{d^2V}{dS^2}=0 \end{eqnarray} A continuación, introduce las derivadas anteriores en la parte izquierda de tu ecuación de Black-Scholes. Entonces obtendrá $rAe^{rt}=rV$ que es igual al lado derecho de su ecuación de Black-Scholes. Por lo tanto, $V(t,S_t)=Ae^{rt}$ ¡es una solución a la ecuación de Black Scholes!