Una pregunta sobre el ejercicio de "Paul Wilmott introduce las finanzas cuantitativas"

Question

Soy nuevo en este foro y acabo de empezar mi aventura con las finanzas, así que tened paciencia.

Estaba resolviendo ejercicios de "Paul Wilmot introduce las finanzas cuantitativas" y me encontré con la siguiente tarea (ejercicio 6, capítulo 1):

Un determinado contrato a plazo no cuesta nada en el momento $t$ y obliga al titular a comprar el activo por un importe $F$ a su vencimiento, $T$ . El activo paga un dividendo $DS$ en el momento $t_d$ , donde $0\le D\le 1$ y $t \le t_d \le T$ . Utilice un argumento de arbitraje para encontrar el precio a plazo, $F (t)$ .

Y también había una pista:

Sugerencia: Considere el punto de vista del redactor del contrato cuando el dividendo se reinvierte inmediatamente en el activo.

Según tengo entendido, como no hay oportunidad de arbitraje, no debería ganar nada. Esto implica que todo el beneficio que he obtenido de los dividendos o de la tasa de interés de mi cuenta bancaria es igual a $F$ .

Este es mi plan de cómo evaluar el $F(t)$

1. Para obtener los dividendos de una acción concreta, primero debo comprar su acción. ( $-S(t)$ )
2. Recibo los dividendos ( $+D S(t_d)$ )
3. Vendo la acción ( $+S(t_d)$ )
4. Suponiendo que $(D+1)S(t_d)-S(t)>0$ Puedo depositarlo en mi cuenta bancaria con un tipo de interés $r$ Así que hago esto y después de un tiempo $T-t_d$ he ganado $[(D+1)S(t_d)-S(t)]e^{r(T-t_d)}$
5. Esto se reduce por los costes $F$ Así que..: $F(t) = [(D+1)S(t_d)-S(t)]e^{r(T-t_d)}$

Sin embargo, la respuesta oficial( https://www.wiley.com/legacy/wileychi/pwiqf2/supp/c01.pdf ) es $F(t) = (1-D)S(t)e^{r(T-t)}$ y no entiendo su explicación.

Agradecería que alguien me explicara por qué estoy equivocado.

Answer 1

Debería comparar el $t$ -valores de dos estrategias de autofinanciación, bajo el supuesto de que existe una cuenta del mercado monetario sin riesgo y que el dividendo es determinista pero proporcional al precio aleatorio de las acciones.

Estrategia 1 - Celebrar un contrato a plazo

• Al inicio ( $t=0$ ), no se paga nada por definición, $\Pi_1(0)=0$
• En la madurez ( $t=T)$ En este caso, usted paga el precio a plazo y recibe las acciones (ya sea en efectivo o en forma de liquidación física): $\Pi_1(T)=-F(0,T)+S(T)$

Estrategia 2 - Cash & carry, asumiendo un dividendo proporcional

• Al inicio ( $t=0$ ), pide un préstamo en efectivo y compra las acciones, $\Pi_2(0)=-S(0) + S(0) = 0$
• En la fecha del dividendo ( $t=t_d$ ), usted recibe $DS(t_d)$ como un procedimiento de dinero extra. Su saldo de caja actual es entonces $\Pi_2(t_d) = -S_0 e^{rt_d} + D S(t_d) + S(t_d)$ El primero refleja lo que tiene que devolver a su prestamista (pedir prestado), el segundo el efectivo procedente de los dividendos, y el último es su posición de acciones largas.
• En la madurez ( $t=T$ ) se queda con $$ \Pi_2(T) = -S(0) e^{rT} + D S(t_d) e^{r(T-t_d)} + S(T) $$ Es la misma idea que en $t=t_d$ excepto que todo el efectivo ha crecido a la tasa libre de riesgo.

Precios sin arbitraje

Suponga que crea una estrategia $\Pi$ donde se implementa ser largo strat 1 y corto strat 2 simultáneamente. $\Pi$ se introduce a coste cero por diseño. Su pago en $T$ debe ser, por tanto, cero en la expectativa para impedir cualquier oportunidad de arbitraje: $$ \Bbb{E}_0[ \Pi(T) ] = \Bbb{E}_0[ \Pi_1(T) - \Pi_2(T) ] = \Bbb{E}_0[ - F(0,T) + S(T) + S(0) e^{rT} - D S(t_d) e^{r(T-t_d)} - S(T) ] = 0 $$ que da como resultado \begin{align} F(0,T) &= \Bbb{E}_0[ S(0)e^{rT} - D S(t_d)e^{-rt_d} e^{rT} ] \\ &= (S(0) - D \Bbb{E}_0[ S(t_d)e^{-rt_d} ]) e^{rT} \\ &= S(0)(1 - D)e^{rT} \end{align} donde la última línea aprovecha el hecho de que entre cualquier distribución de capital (es decir, aquí antes del pago de dividendos), la inversión en las acciones constituye una estrategia de autofinanciación (de ahí que el precio de las acciones expresado en el numéraire libre de riesgo, es decir, el precio de las acciones descontado, debería ser martingala).

REM Acabo de ver que en tu OP consideras un genérico $t$ por lo tanto, el tiempo de maduración $T-t$ Acabo de dar el ejemplo de $t=0$ por lo tanto, el tiempo de maduración $T$ (la generalización debería ser sencilla)

Answer 2

Aunque la respuesta a esta pregunta ya se ha dado, me gustaría dar otro punto de vista a este problema. Cabe señalar que en $t=0$ debe tener menos de 1 unidad de acciones ( $(1-D)$ unidades para ser precisos) para replicar la retribución a plazo. A continuación presento la estrategia de réplica.

• En $t=0$ usted compra $1-D$ unidades de stock por valor de $(1-D)S(0)$ lo financia con un préstamo $(1-D)S(0)$ de la cuenta bancaria. Valor de la cartera a $t=0$ es así: $$\Pi_0=(1-D)S(0)-(1-D)S(0)=0$$
• En la fecha del dividendo $t=t_d$ usted recibe $S(t_d)(1-D)D$ dividendo y luego reinvertirlo completamente en acciones que ahora valen $S(t_d^{+})=S(t_d)(1-D)$ - su valor bajó debido a los dividendos. Por lo tanto, con los ingresos de los dividendos se compran más $\frac{(1-D)S(t_d)D}{S(t_d)(1-D)}$ unidades de stock $S(t_d^{+})$

El valor de la cartera es así: $$\Pi_{t_d^{+}}=(1-D)S(t_d^{+})+(1-D)S(0)e^{rt_d}+\frac{(1-D)S(t_d)D}{S(t_d)(1-D)}S(t_d^{+})$$ donde $t_d^{+}$ indica el tiempo justo después del corte de los dividendos.

• En el momento $t=T$ Por lo tanto, el valor de la cartera es $$\Pi_{T}=(1-D)S(T)+(1-D)S(0)e^{rT}+\frac{(1-D)S(t_d)D}{S(t_d)(1-D)}S(T)=S(T)-(1-D)S(0)e^{rT}$$

El pago a largo plazo es $S(T)-F(0,T)$ . El valor de $F(0,T)$ es el valor del coste de financiación, por lo que $F(0,T)=(1-D)S(0)e^{rT}$

Obsérvese que toda la estocasticidad, es decir, el término $S(t_d)D$ se ha eliminado de nuestra ecuación, por lo que $F(0,T)$ es conocido.