Cálculo del coeficiente CARA

Question

Considere el siguiente escenario:

Un consumidor con CARA (aversión al riesgo absoluto constante) afirma que le es indiferente "obtener 2400 con seguridad" y "obtener 5000 o 0, cada uno con un 50% de posibilidades".

Sé que un consumidor tiene CARA si y sólo si la función de utilidad vNM es una transformación afín de $-e^{-\lambda x}$ , donde $x$ es el premio de la apuesta. Me preguntaba cómo podría resolver el coeficiente $\lambda$ En este caso, la situación es la misma que en el anterior.

Para ello escribí la siguiente ecuación:

$e^{-2400\lambda}=\frac{1}{2}e^{-5000\lambda}+\frac{1}{2}e^{-0\lambda}$

Está claro que $\lambda=0$ debería ser una solución para ello. Sin embargo, descubrí que no podía ser así, ya que $\lambda=0$ significa que el riesgo es neutro, lo que es controvertido con la pretensión del consumidor.

¿Cuál debería ser la forma correcta de resolverlo? Creo que debo haber cometido algunos errores estúpidos aquí, pero no pude resolverlo.

(Como referencia, este es en realidad el problema 6.2 del libro de texto de Kreps - cualquier sugerencia o pista sería muy apreciada).

Answer 1

Implementando la "transformación afín", dejemos que $$u(x) = A-B\exp\{-\lambda x\}$$

Entonces queremos resolver $(x_1 = 2400, x_2 = 5000)$

$$A-B\exp\{-\lambda x_1\} = \frac 12 \Big[A-B\exp\{-\lambda x_2\}\Big]+\frac 12 \Big[A-B\exp\{-\lambda \cdot 0\}\Big]$$

$$\implies A-B\exp\{-\lambda x_1\} = A - \frac 12B - \frac 12B\exp\{-\lambda x_2\}$$

$$\implies \frac 12B -B\exp\{-\lambda x_1\} + B\frac 12\exp\{-\lambda x_2\} =0$$

$$\implies -\frac 12 +\exp\{-\lambda x_1\} - \frac 12\exp\{-\lambda x_2\} =0$$

y verificamos que $A,B$ no importa.

Se trata de una función no lineal en una variable, y se debe utilizar un algoritmo informático para encontrar las posibles soluciones. En este caso concreto, la prueba y el error a mano (o el gráfico ingenuo en una hoja de cálculo) pueden inducir a error, porque, como muestra la solución publicada por el OP en un comentario, el valor no nulo de $\lambda$ que satisface la ecuación es muy pequeño, $\lambda = 0.0032$ .

Por lo tanto, si uno intenta graficar la función en una hoja de cálculo, debe especificar incrementos muy pequeños para $\lambda$ de lo contrario se perderá el pequeño intervalo para el cual la función se vuelve positiva para valores estrictamente positivos de $\lambda$ y luego cae a cero y a valores negativos de nuevo.

Para empeorar las cosas, los valores de los premios reales son demasiado grandes numéricamente cuando se insertan en la función exponencial, por lo que los incrementos de lambda deben ser aún más pequeños, si uno quiere "ver" la solución en una hoja de cálculo. Por ejemplo, para utilizar los niveles reales de los precios como coeficientes de la ecuación, hay que especificar incrementos del orden de $10^{-5}$ .

Uno podría introducir los premios en centenas o en miles... (la solución en el enlace publicado en el comentario utiliza centenas), lo que permite incrementos mayores.