¿Cómo interactúan los cálculos de interés compuesto con el redondeo de monedas?

Question

[Como tengo muy poca experiencia en money.SE, agradezco los comentarios sobre la siguiente pregunta, además de cualquier respuesta, por supuesto].

El saldo de un préstamo o depósito siempre se comunica como un múltiplo entero de 0,01 dólares. Normalmente, en un momento dado, el tipo de interés multiplicado por el saldo incluirá centavos fraccionados, por lo que el interés real pagado debe redondearse al centavo más cercano. Supongo que los pagos de intereses posteriores se realizan sobre el saldo declarado. Pero si esto es así, entonces la famosa fórmula A = P(1+i)^n (donde A es el valor actual, P es el principal, i = tipo de interés nominal anual dividido por el número de periodos de capitalización al año, y n = número total de periodos de capitalización transcurridos) está potencialmente desviada por algún error de redondeo. Por ejemplo:

Supongamos que pido prestado $1000 at a 15.99% interest rate compounded monthly. Now 15.99% divided by 12 is 1.3325%, and 1.3325% of $ 1000 es $13.325, so (I presume - please correct me!) $ Se añade 13,33 al saldo, y el nuevo saldo es de 1013,33 dólares. Entonces la fórmula A = P(1+i)^n (con P=1000, i=0,013325, y n=1) se equivoca en medio céntimo.

Ahora bien, evidentemente, mientras n sea pequeño, el error es muy pequeño. Y me parece plausible que, por lo general, el error siga siendo pequeño incluso para n grande, porque no hay ninguna razón sistemática (obvia para mí) para que el error de redondeo vaya siempre en la misma dirección (hacia arriba o hacia abajo), por lo que quizás los errores tiendan a anularse. Pero me parece al menos plausible que pueda haber algunos valores específicos del principal y de la tasa de tal manera que el error esté normalmente en la misma dirección para algún tramo significativo de valores de n, y luego al final de este tramo, la fórmula podría estar fuera por una cantidad sustancial.

¿Hay alguna razón sistemática por la que este error no pueda acumularse a medida que n crece? ¿O es que, aunque se acumulara, seguiría siendo pequeño en comparación con el equilibrio y, por tanto, puede ignorarse en los tipos de situaciones en los que se utiliza la fórmula A=P(1+i)^n? O, ¿estoy pensando en esto completamente mal de alguna manera y el error es ilusorio?

Answer 1

Cada préstamo hipotecario o de coche que he considerado tenía el último pago ligeramente diferente al resto de los pagos. Ese último pago era diferente porque la fórmula para el pago mensual requería pagos a la fracción de un centavo, lo que por supuesto es imposible.

Eso significaría que el error podría ser como máximo del 99% del céntimo cada mes, por lo que después de los primeros 359 pagos de una hipoteca a 30 años, el último pago tendría que diferir de los demás como máximo en 3,60 dólares.

Esto también se aplicaría al crédito renovable, pero el crédito renovable no tiene tablas de amortización que lo hagan evidente. Además, los pagos mínimos, los saldos que cambian constantemente y los posibles cambios en los tipos de interés harían que fuera aún más difícil darse cuenta.

Answer 2

En realidad sería $1159.9 per month because you don't divide the interest rate by your months, this is the equation. Y= 1000(1.1599)^(months) For instance, if you were paying interest for 4 months then it would be Y= 1000(1.1599)^4 and your answer would be $ 1810,01 (nunca redondees el dinero porque no puedes tener más de lo que hay disponible). Espero que esto te ayude.

Answer 3

Supongamos que pido prestado $1000 at a 15.99% interest rate compounded monthly. Now 15.99% divided by 12 is 1.3325%, and 1.3325% of $ 1000 es $13.325, so (I presume - please correct me!) $ Se añaden 13,33 euros al saldo, y el nuevo saldo es de 1013,33 dólares. Entonces la fórmula A = P(1+i)^n (con P=1000, i=0,013325, y n=1) se equivoca en medio céntimo.

Cierto, pero mira lo que pasa siguiente mes. Su saldo es $1,013.33, your interest rate is still 1.3325% per month, and your interest charged is $ 13,5026, que se redondea a $13.50 and you give half of that half a penny back! Your balance with rounding is now $ 1,026.83. Sin redondear, su saldo sería $1000 * (1+.1599/12) ^ 2 = $1,026.8276, so now the error is only $ 0.0024.

¿Hay alguna razón sistemática por la que este error no pueda acumularse a medida que n crece?

Sí, porque (estadísticamente) la mitad de las veces se redondea hacia abajo y la otra mitad hacia arriba. El efecto del redondeo es que de media todos los efectos de redondeo se anulan entre sí. En algunos periodos se obtiene medio céntimo, en otros meses se da, y por término medio debería ser un lavado (o al menos un error mucho menor que 0,005 dólares).