Bienes imprescindibles: ¿Cómo se restringe la función de utilidad?

Question

Tengo entendido que las soluciones en la frontera del conjunto considerado cuando se hace una optimización restringida suelen ser problemáticas. Normalmente se dice que suponemos que los bienes son esenciales para asegurar una solución interior.

¿Pero no hay un conjunto de condiciones que se pueden imponer a la función de utilidad, por ejemplo, en lugar de estipularla como primitiva, para asegurar que la solución sea interior?

Soy consciente de que esto depende, por supuesto, del programa concreto que se considere. Así que, para ser concreto, me interesa principalmente el programa estándar en el que

$$\max_x \ u(x) \\ s.t. \ \ px \leq w$$

donde $p>>0$ y $w>0$ .

Answer 1

Para tener $x^*_j>0$ es posible imponer
(i) una condición sobre la utilidad marginal: $\lim_{x_j\rightarrow0} \partial{U}/\partial{x_j}(x)=+\infty$
(ii) o una desigualdad $x_j \geq a_j>0$ donde $a_j$ se interpreta como un nivel de subsistencia de $x_j$
A menudo la función de utilidad se reparametriza y se escribe $U(x-a)$ con la restricción $X:=x-a\geq 0$ que garantiza que $x^*\geq a$ en el óptimo interior.

Ejemplo: en el caso Cobb-Douglas con niveles de subsistencia, tenemos $$U(X_1,X_2)=U(x_1-a_1,x_2-a_2)=(x_1-a_1)^\alpha(x_2-a_2)^\beta$$

Siempre que los ingresos $m$ es lo suficientemente alta, las demandas marshallianas vienen dadas por:

$$x^*_1 = a_1 + \frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{m-p_1a_1-p_2a_2}{p_1}\\ x^*_2 = a_2 + \frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{m-p_1a_1-p_2a_2}{p_2}.$$