Tengo dificultades con esta pregunta: 
¿Podemos proceder aquí utilizando Lagrange ya que la función de utilidad es convexa, o tenemos que tratarlos como sustitutos perfectos? Si es esto último o cualquier otro método, por favor explíquelo.
Mi intento:
$$L= U(X,y) +(y-p1-p2)$$ .
Usando Lagrange, obtuve esto FOCs : $$ Ax1^{( -1)} - p1=0$$ & $$1-p2=0$$ .
Entonces, ¿es correcto utilizar aquí el método de Lagrange?
Te ofrezco un poco de orientación para que puedas avanzar en el problema por ti mismo.
Has configurado el Lagrangean incorrectamente.
El problema de maximización que tienes se parece:
$$\max \ U(x_1, x_2) \\ \text{s.t.} \ p_1 x_1 + p_2 x_2 \leq y $$
El Lagrangean debería decir:
$$\mathscr{L} = U(x_1, x_2) - \lambda (p_1 x_1 + p_2 x_2 - y)$$
El Lagrangean que ofreciste tenía utilidad en función de $X$ y $y$ pero puede ver que su función de utilidad no tiene $y$ como argumento en ella. Así que esto es sólo un error de notación a tener en cuenta. En cuanto a la parte del multiplicador de Lagrange, puedes imaginar que si la restricción de desigualdad es vinculante, entonces $p_1 x_1 + p_2 x_2 - y = 0$ Así que en ese caso, maximizar el Lagrangean es simplemente maximizar la utilidad menos $0$ pero es un especial $0$ que ayuda a incorporar la restricción presupuestaria en el problema. (En cuanto al caso no vinculante, puedes pensar tú mismo en lo que ocurre con el problema de optimización).
Sin embargo, tus condiciones de primer orden son correctas. Eso me dice que has cometido sobre todo errores de escritura. Para responder a tu pregunta sobre si el Lagrangean está bien aquí, el Lagrangean funcionará siempre que el óptimo sea una solución interior. Así que si sospechas que $x_1, x_2$ será igual a cero, entonces puede que tengas que sacar el teorema de Kuhn-Tucker. Así que piensa en qué condiciones se cumple el teorema de Lagrange.
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