La forma clásica de fijar el precio de una opción consiste en resolver analítica o numéricamente la EDP asociada sujeta a las condiciones finales y de contorno. Un enfoque alternativo es utilizar la simulación monte carlo, que básicamente requiere simular muchas veces la EDP asumida para el subyacente y luego evaluar el pago descontado esperado.
Me gustaría entender la razón teórica por la que el valor de una opción es su pago descontado esperado.
La explicación más sencilla es el teorema de Feynman-Kac
https://en.wikipedia.org/wiki/Feynman%E2%80%93Kac_formula
Blackscholes es una EDP parabólica
La solución puede escribirse como una expectativa condicional sobre un término de integración. La expectativa condicional significa que hay que simularla usando alguna distribución que lleve a monte-carlo
Para añadir a la respuesta de Animesh Saxena Creo que vale la pena mencionar que pienso que esta pregunta está formulada al revés.
La forma clásica de fijar el precio de una opción consiste en resolver analítica o numéricamente la EDP asociada sujeta a las condiciones finales y de contorno. Un enfoque alternativo es utilizar la simulación monte carlo.
Parece mucho más natural responder a "cuánto vale esta opción de contrato" como "la cantidad que espero que me devuelva", y esto medido en dinero de hoy. Así, de forma muy natural e inmediata, obtenemos $$ \text{Value} = \text{Discount} \times \text{Expected payout}, $$ que se traduce en $$ V(t,S_t) = \mathbb{E}\left(\exp\left(-\int_t^T r_s \mathrm{d}s\right) P(S_T) \,\middle|\, \mathcal{F}_t\right). $$
De hecho, convertir la respuesta de esto a una EDP requiere algunas suposiciones adicionales, como la negociación sin fricciones, la disponibilidad continua para cubrirse, etc. Realmente la forma de expectativa para el valor es la representación natural y se justifica fácilmente en la teoría. Por supuesto, Monte Carlo está a mano para estimar esto.
La formulación de la PDE es un subproducto del intento de reducir la variabilidad del valor de una cartera que contiene dicha opción. Si se permite la negociación continua, el riesgo puede gestionarse mediante $\Delta$ -cobertura a cero. Si el comercio continuo no es el caso, entonces realmente se produce una estrategia de cobertura basada en las ecuaciones HJB y es un problema de teoría de control. Sucede que encontrar esta estrategia implica resolver una EDP para el valor de la opción.
Mientras que Feynman-Kac te permite intercambiar normalmente entre PDE y formas de expectativa para el valor, el debe ser siempre representable como una expectativa como se ha dicho anteriormente. No creo que siempre podamos escribir el valor en términos de una solución PDE. Creo que esto se vuelve aún más aplicable cuando se pasa a SDEs más interesantes, especialmente si se empieza a jugar con el tipo de interés y a darle procesos estocásticos.
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