Paseo aleatorio de N activos correlacionados

Question

Estoy tratando de valorar una opción sobre N activos, digamos $S^1, S^2,..., S^N$ que vence en $\Delta T$ años utilizando la simulación de Monte Carlo. He leído muchas fuentes que afirman que debo utilizar la siguiente fórmula para cada activo:

$S_T^i = S_0^i exp( (\mu_i - \sigma_i^2/2)\Delta T + \alpha_i\sigma_i\sqrt{\Delta T})$

Dónde:

• El $i$ se utilizan para diferenciar los distintos activos.
• $S_t^i$ denota el precio del activo $S^i$ en el momento t.
• $(\alpha_1,...,\alpha_N)$ se derivan tomando la descomposición de Cholesky $LL^*$ de la "matriz de correlaciones" y luego aplicarla a N variables aleatorias estándar iid $(\epsilon_i,...,\epsilon_N)$ .

Mis preguntas son:

1. ¿La "matriz de correlaciones" representa las correlaciones entre los Activos o de los rendimientos de los Activos?
2. ¿El método de Cholesky simplemente logra extraer de una distribución normal multivariada con media $(0,...,0)$ y la matriz de varianza-covarianza de la respuesta a mi primera pregunta?

Gracias de antemano.

Answer 1

La matriz de correlaciones se refiere a las correlaciones entre los rendimientos de los activos. De hecho, puede verse como sigue. Cada activo sigue un movimiento browniano geométrico, es decir $$ \frac{{\rm d}S_t^i}{S_t^i}=\mu_i{\rm d}t+\sigma_i{\rm d}W_t^i, $$ donde la correlación entre $W_t^i$ y $W_t^j$ se supone que es $$ \text{Corr}\left(W_t^i,W_t^j\right)=\rho_{ij}. $$ Por lo tanto, la matriz de correlación se refiere a las correlaciones entre los rendimientos de los activos.

La descomposición de Cholesky ayuda a transformar $N$ variables aleatorias normales independientes en $N$ variables aleatorias normales correlacionadas, con la matriz de correlación $\rho_{ij}$ como en el caso anterior. Esto se puede ver de la siguiente manera. Resolver la SDE para cada activo, y $$ S_t^i=S_0^i\exp\left[\left(\mu_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2\right)t+\sigma_iW_t^i\right]. $$ Como sólo nos interesa el muestreo de $S_T^i$ la fórmula anterior da como resultado $$ S_T^i=S_0^i\exp\left[\left(\mu_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2\right)T+\sigma_iW_T^i\right]. $$ Aquí cada $W_T^i\sim\mathcal{N}(0,T)$ . En cambio, cuando todos los $W_T^i$ se ven como un todo, es decir, un vector de $N$ variables aleatorias, tenemos $$ \mathbf{W}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},T\Sigma), $$ donde el $\left(i,j\right)$ -La quinta entrada de la matriz cuadrada $\Sigma$ lee $$ \Sigma_{ij}=\rho_{ij}, $$ porque los componentes de $\mathbf{W}$ están correlacionados. Ahora, supongamos que tenemos otro vector de $N$ variables aleatorias, denotadas por $\mathbb{Z}$ que sigue $$ \mathbf{Z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},I_N), $$ lo que significa que los componentes de $\mathbf{Z}$ son independientes y se distribuyen idénticamente como una normal estándar. Esto es lo que hemos podido generar numéricamente. Nuestro objetivo es hacer uso de esta $\mathbf{Z}$ para conseguir $\mathbf{W}$ . Esto podría llevarse a cabo mediante $$ \sqrt{T}L\mathbf{Z}, $$ donde $L$ satisface $$ \Sigma=LL^{\top}. $$ Desde $$ \sqrt{T}L\mathbf{Z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},T\Sigma), $$ puede proporcionar un muestreo de $\mathbf{W}$ .