¿Es posible hacer un portafolio con un rendimiento esperado más alto y una desviación estándar más baja que los valores constituyentes?

Question

Supongamos que estamos trabajando en el marco de la teoría moderna de carteras. Ahora, digamos que tenemos dos activos (también podrían ser carteras en sí mismos) A y B. La cartera A tiene un rendimiento esperado del 10% y una desviación estándar del 10%, mientras que la cartera B tiene un rendimiento esperado del 5% y una desviación estándar del 5%.

¿Hay alguna forma de combinar A y B para hacer una cartera C que tenga un rendimiento esperado mayor al 10% y una desviación estándar menor al 5%? ¿Existen condiciones en la matriz de covarianza que harían esto posible?

Answer 1

Esto no es posible porque si quieres tener una cartera con un rendimiento esperado superior al 10% necesitas un activo con un rendimiento esperado superior al 10%. Sin embargo, tanto el activo A como B son inferiores o iguales al 10%. Por lo tanto, no puedes crear la cartera, ¿o se permite el apalancamiento?

Answer 2

Si no se permite la venta a corto, entonces no, claramente nunca se puede obtener un rendimiento esperado más alto que al asignar más peso a un valor con un rendimiento esperado más bajo. Si se permite la venta a corto, entonces puedes obtener inmediatamente un rendimiento más alto al vender en corto parte de la cartera B para permitirte comprar más de la cartera A. Ya sea que esta nueva cartera tenga una desviación estándar más baja que la cartera B depende de la correlación entre las dos carteras, específicamente si puedes encontrar algunos pesos $\bar{w} = (w_A, w_B)$ con $w_A$ negativo de manera que $\bar{w} \Sigma \bar{w}^T < \sigma_A$ donde $\Sigma$ es la matriz de covarianza de las carteras A y B. Esto se asemeja al problema de minimización de la varianza en la optimización cuadrática en la que se busca minimizar la varianza bajo la restricción $\bar{w} R > \mu_0$ para una volatilidad dada $\sigma_0$. Una formulación se presenta en "Principios y métodos de análisis de riesgos y carteras":

No puedo encontrar ninguna solución en forma cerrada en línea para este problema, por lo que no estoy seguro cuál sería la regla general para que se cumpla, ciertamente hay una solución para algunos valores de $\sigma_A, \sigma_B, \mu_A, \mu_b, \rho_{A,B}$ y se descompone en cierto punto.