¿Se trata de un problema de endogeneidad/simultaneidad?

Question

Me gustaría saber si la lógica de estas dos situaciones es correcta.

Situación 1: Digamos que tenemos una variable dependiente continua, $y_1$ que luego tiene un impacto causal en una variable no observada, $\rho$ . Esta variable no observada tiene entonces un impacto causal sobre una variable, $y_2$ que tiene un impacto causal en $y_1$ . Queremos estimar $ \frac{\partial y_1}{\partial y_2}$ . Así, tenemos un conjunto de ecuaciones estructurales como las siguientes:

$$y_1 = f(y_2, \mathbf{x_1})+ e_1$$ $$\rho = f(y_1, \mathbf{x_2})+ e_2$$ $$y_2 = f(\rho, \mathbf{x_3})+ e_3$$

donde el $\mathbf{x_i}$ son exógenos y los $e_i$ términos son errores. Sustituyendo la segunda ecuación en la tercera, podemos ver que tendríamos simultaneidad y nuestras estimaciones del impacto de $y_2$ en $y_1$ estaría sesgada si no pudiéramos controlar $\rho$ o alguna aproximación a ella en nuestra estimación de la ecuación estructural para $y_1$ .

Estoy especialmente inseguro sobre esta última parte en cursiva. ¿Podríamos utilizar el proxy para $\rho$ en la estimación de la ecuación estructural para $y_1$ o tendríamos que hacer 2SLS, con la proxy para $\rho$ ¿se incluye en la primera etapa pero se excluye en la segunda?

Situación 2: Digamos que tenemos una variable dependiente porcentual, $s_1$ . Digamos que el complemento de $s_1$ se compone de otros dos porcentajes, $s_2$ y $s_3$ . Además, digamos que $s_3$ tiene un impacto causal en un factor no observado, $\rho$ y que $\rho$ tiene un impacto causal en $y_2$ que tiene un impacto causal en $s_1$ . Queremos estimar $\frac{\partial s_1}{\partial y_2}$ . Así, tenemos las siguientes ecuaciones estructurales:

$$s_1 = f(y_2, \mathbf{x_1})+ e_1$$ $$\rho = f(s_3, \mathbf{x_2})+ e_2$$ $$y_2 = f(\rho, \mathbf{x_3})+ e_3$$

Digamos ahora que $s_2$ es más o menos constante en todas las observaciones. Por lo tanto, generalmente existe una relación inversa entre $s_1$ y $s_3$ . Esto implica que podemos reescribir $s_3$ en las segundas ecuaciones estructurales en términos de $s_1$ :

$$\rho = f(1 - (s_1 + \bar{s}_2), \mathbf{x_2})+ e_2$$

Entonces, al igual que en la situación 1, al sustituir esta ecuación en la ecuación estructural de $y_2$ podemos ver que habría simultaneidad y nuestras estimaciones del impacto de $y_2$ en $y_1$ estaría sesgada (una vez más, no estoy seguro de si controlar por $\rho$ o una aproximación a ella en nuestra estimación de la ecuación estructural para $y_1$ lo solucionaría).

Answer 1

Consideremos la situación 1.

Supongamos que $\rho$ se observa. Si no funciona cuando $\rho$ se observa, no hay ninguna razón para que (usando un proxy de $\rho$ como instrumento) debería funcionar cuando $\rho$ no se observa.

$\rho$ es endógena, por lo que no podemos incluirla como regresor en una ecuación. Por lo tanto, consideremos la estimación IV.

Los instrumentos obvios para la primera ecuación son $\mathbf{x}_1$ , $\mathbf{x}_2$ y $\mathbf{x}_3$ . ¿Podemos utilizar $\rho$ como un instrumento más? Depende de si $\rho$ es relevante y si $\rho$ es exógena en la primera ecuación (es decir, el $y_1$ ecuación). Primero, $\rho$ es relevante ya que está correlacionado con $y_2$ (a menos que la última ecuación sea degenerada). A continuación, ¿es exógena?

Para comprobarlo, hagamos cuentas y consideremos el siguiente modelo simple (sin interceptos ni regresores exógenos, para simplificar): $$y_1=\alpha y_2 + e_1,\;\; \rho = \beta y_1+e_2,\;\; y_2=\gamma \rho + e_3.$$ Escríbelos en forma de matriz: $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -\alpha\\ -\beta & 1 & 0\\ 0 & -\gamma & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_1\\ \rho\\ y_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e_1\\ e_2\\ e_3 \end{pmatrix} . $$ Utilizando La regla de Cramer obtenemos $$\rho = (\beta e_1 + e_2 + \alpha \beta e_3 ) / (1-\alpha\beta\gamma).$$ $\rho$ está correlacionada con $e_1$ a menos que $\beta=0$ Así que $\rho$ no puede ser utilizado como un instrumento.

Editar

¿Qué pasa si $y_1$ se hace una regresión sobre $y_2$ y $\rho$ ? Entonces $\alpha$ ¿se puede estimar de forma coherente? Para simplificar, supongamos que $e_1, e_2, e_3$ son $iid$ estándar normal. Entonces el vector estimador OLS converge en probabilidad a $$\begin{bmatrix} \alpha\\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} E(y_2^2) & E(y_2 \rho)\\ E(y_2\rho) & E(\rho^2) \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} E(y_2 e_1)\\ E(\rho e_1) \end{bmatrix} .$$ Dejar $e=(e_1,e_2,e_3)'$ , escriba $\rho = e'g$ y $y_2 = e'h$ para algunos $3\times 1$ vectores no aleatorios $g$ y $h$ . Entonces el segundo término es $$ \begin{pmatrix} h'h & h'g\\ g'h & g'g \end{pmatrix} ^{-1} \begin{pmatrix} h_1\\ g_1 \end{pmatrix} . $$ El primer elemento de lo anterior es el determinante inverso de los tiempos $g'gh_1 - g'h g_1 = g'(gh_1 - hg_1)$ . Calculemoslo. Ya hemos obtenido $g$ . Ahora necesitamos $h$ : $$y_2 = (-\beta\gamma e_1 - \gamma e_2 + e_3) / (1-\alpha\beta\gamma).$$

Ignoremos la parte determinante (común). Podemos trabajar con $g=(\beta, 1, \alpha\beta)'$ y $h=(-\beta\gamma, -\gamma, 1)'$ ignorando el determinante. Entonces $$ gh_1 - hg_1 = [0, 0, -\beta (1+\alpha \beta\gamma) ]' \text{ times a constant}.$$ Así, $$ g'(gh_1 - hg_1) = -\alpha \beta^2 (1+\alpha\beta\gamma) \text{ times another constant}.$$ La regresión OLS de $y_1$ en $y_2$ y $\rho$ da un estimador inconsistente en general, pero da un estimador consistente de $\alpha$ si $\alpha=0$ o $\beta=0$ . Especialmente, si $\alpha=0$ entonces el estimador OLS es consistente. Es decir, podemos hacer la regresión $y_1$ en $y_2$ y $\rho$ si queremos probar $H_0: \alpha=0$ . Esto es inesperado. No estoy seguro de que mi álgebra sea correcta.