Cómo definir la tasa natural de producción

Question

Estoy siguiendo Interest & Prices de Woodford para derivar las microfundaciones de un modelo neokeynesiano con precios escalonados.

He definido la función de utilidad y la función de desutilidad (1.1 en la página 144) como

$$ u= \frac{\xi_t C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma}, v= \frac{h_t(j)^{1+\eta}}{1+\eta}, $$

donde $\xi$ es una perturbación del consumo.

Entonces he definido la función de producción ( 1.7 en la página 148) como

$$ y_t(j)= A_t * h_t(j). $$

Con estas formas funcionales podemos escribir el coste marginal real (1.10 en la página 149) como

$$ s_t(y,Y,\xi) = \frac{v_h(f^{-1}(y_t(j) /A); \xi)}{u_c(Y_t; \xi)A} \frac{1}{f'(f^{-1}(y_t(j)/A))} = \frac{y_t(j)^\eta \cdot C_t^{1/\sigma}}{A_t \cdot\xi_t } .$$

Woodford dice que con precios flexibles podemos escribir la tasa natural de producción como (1.14 en la página 151)

$$s(Y^n, Y^n, \xi)= \mu^{-1}.$$

Por lo tanto, obtengo que la tasa natural de producción es igual a $$ Y_t^n =( \mu^{-1} * A_t * \xi_t )^{\eta/ \sigma}. $$

Sin embargo, el problema de esta definición es que en el estado estacionario donde los choques( $\xi$ y $A$ ) son cero también la tasa natural de producción será cero.

¿Es correcta esta formulación? ¿Existe otra forma de expresar la tasa natural de producción?

Answer 1

Esa conclusión no es correcta y hay varios problemas con la formulación que utiliza.

1. $A$ no es un choque - es un parámetro tecnológico de la función de producción (véase Woodford Interest and Prices pp 148). Heck, $A$ ni siquiera puede ser cero. Siguiendo a Woodford:

$A_t> 0$ es un factor tecnológico exógeno variable en el tiempo

puede haber choques a $A_t$ que la aumenten o la disminuyan pero $A_t$ es estrictamente positivo en todo momento.

2. En realidad no es $s(Y^n,Y^n,ξ)=μ^{−1}$ pero $s(Y^n_t,Y^n_t;ξ)$ . Esto puede parecer trivial, pero tenga en cuenta $s(.)$ sólo tiene 2 argumentos ( $Y^n_t$ y $Y^n_t;\xi$ no 3 argumentos $Y^n_t$ , $Y^n_t$ y $\xi$ ). Además, la solución a $s(Y^n,Y^n,ξ)=μ^{−1}$ te da la tasa natural de producción no la ecuación en sí. En este contexto como leo el punto y coma de Woodford (;) se utiliza para separar las variables y los parámetros de choque. Por lo tanto, es sólo para indicar que la ξ no es una variable sino que viene dada por los parámetros de choque de la economía (es decir, indica la variable condicional en el vector de choques.

3. Su definición de la función de utilidad es muy poco estándar, la define como:

$$ u= \frac{\xi_t C_t^{1-\sigma}}{1-\sigma} $$

pero por qué los amortiguadores $\xi_t$ ¿Incluso multiplicado por el consumo en primer lugar? En Woodford la ecuación (1.1) se da como

$$E_0 \left[ \sum^{\infty}_{t=0} \beta^t \left( u_t(C_t, M_t/P_t; \xi_t) - \int^{1}_{0} v(h_t(i);\xi_t)di \right) \right]$$

• primero como puedes ver $C_t$ ni siquiera está condicionada a los choques $\xi_t$ El dinero real que se tiene es $M_t/P_t; \xi_t$ es condicional al vector de choques.
• no se puede suponer $u_t(C_t, M_t/P_t; \xi_t) = \xi_t C_t^{1-\sigma}$ Quiero decir que no tiene ningún sentido económico, ¿por qué la utilidad debe ser producto del vector de choques y del consumo?

No creo que se obtenga el mismo resultado con alguna función de utilidad más razonable y teniendo en cuenta que las variables son condicionales al vector de choques (por ejemplo $ M_t/P_t; \xi_t$ no significa $M_t/P_t$ tiene media cero incluso si $\xi_t$ viene dada por una distribución gaussiana con media cero).