Precio de la opción de compra americana igual al precio de la opción de compra europea (acción que no paga dividendos)

Question

Dejemos que $\tilde{C}_K(t,T)$ sea el valor (precio) de una opción de compra americana al strike $K$ y la madurez $T$ y $C_K(t,T)$ el valor (precio) de una opción de compra europea con los mismos parámetros.

Para una acción que no paga dividendos, $\tilde{C}_K(t,T) = C_K(t,T)$ . ¿Por qué?

Mi libro de texto dice:

$\textbf{Proof}$ : $\tilde{C}_K(t,T) \geq C_K(t,T)$ es evidente. (¿Por qué es obvio?)

Para demostrar $\tilde{C}_K(t,T) \leq C_K(t,T)$ considere

1. El americano no se ejercita ante $T$ . Entonces $\tilde{C}_K(t,T) = C_K(t,T)$ . (ya que entonces el americano es el mismo que el europeo, esto tiene sentido para mí).

2. Supongamos que el americano se ejerce en $t<T$ . Entonces

$$\tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq C_K(t,T). \hspace{14cm}\blacksquare$$

No lo entiendo. Pensaría que si los americanos $\tilde{C}_K$ se ejerce en $t<T$ entonces $\tilde{C}_K(t,T)$ es el pago de la llamada, por lo tanto $(S_t-K)^+$ ... ¿Y por qué $S_t - K \leq C_K(t,T)$ ?

Referencia: Una introducción a las finanzas cuantitativas de Stephen Blyth.

Answer 1

De la paridad put-call tenemos $C_t =P_t +S_t - K e^{-r(T-t)},$ así que $$C_t \geq S_t - K e^{-r(T-t)} > S_t - K.$$ Esto significa que el precio de la llamada $C_t$ en cualquier momento $0 < t<T$ es siempre mayor que el valor de ejercer la llamada que es $S_t - K.$ Por lo tanto, la opcionalidad de ejercer una opción de compra americana (sin dividendos) antes de $T$ no tiene ningún valor.

Answer 2

De la misma fuente (Introduction to Quantitative Finance de Stephen Blyth), antes de demostrar que tanto las opciones de compra americanas como las europeas sobre acciones que no pagan dividendos tienen el mismo valor, el autor demuestra el siguiente límite para el valor de la opción de compra europea sin dividendos en la página $57.$

Resultado : El precio de compra europeo de una acción que no paga dividendos satisface $$\max(0, S_t -K e^{-r(T-t)}) \leq C_K(t,T)\leq S_t$$ donde $C_K(t,T)$ es el valor de la opción de compra europea en el momento $t$ con $K$ es el precio de ejercicio y vence en el momento $T$ y $r$ es el tipo de interés.

La desigualdad de la izquierda puede demostrarse utilizando el argumento del no arbitraje, mientras que la desigualdad de la derecha puede demostrarse utilizando la fórmula del valor intrínseco de la opción de compra europea.

Equipándonos con el resultado anterior, es fácil demostrar la siguiente afirmación:

Supongamos que el americano se ejerce en $t<T$ . Entonces $$\tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq C_K(t,T).$$

De hecho, desde $e^{-r(T-t)} \leq 1,$ así que $$\tilde{C}_K(t,T) = S_t - K \leq S_t -K e^{-r(T-t)} \leq \max(0, S_t -K e^{-r(T-t)}) \leq C_K(t,T).$$