¿Por qué el modelo de Nelson-Siegel no es libre de arbitraje?

Question

Suponga que $X_t$ es un proceso multivariado de Ornstein-Uhlenbeck, es decir $$dX_t=\sigma dB_t-AX_tdt$$ y la tasa de interés spot evoluciona según la siguiente ecuación: $$r_t=a+b\cdot X_t.$$ Después de resolver para $X_t$ usando $e^{tA}X_t$ y Ito y mirando a $\int_0^T{r_s\;ds}$, resulta que $$\int_0^T{r_s\;ds} \sim \mathcal{N}(aT+b^{T}(I-e^{-TA})A^{-1}X_0,b^{T}V_Tb)$$ donde $V_t$ es la matriz de covarianza de $\int_0^T(I-e^{-(T-u)A})A^{-1}\sigma dB_u$.

Esto nos da la curva de rendimiento $$y(t)=a+\frac{b^{T}(I-e^{-tA})A^{-1}X_0}{t}+\frac{b^{T}V_tb}{2t}$$ y al introducir $A= \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \\ \end{pmatrix}$ finalmente obtenemos $$y(t)=a+\frac{1-e^{-\lambda t}}{\lambda t}C_0+e^{-\lambda t}C_1+\frac{b^{T}V_tb}{2t}.$$ La fórmula anterior sin $\frac{b^{T}V_tb}{2t}$ se conoce como el modelo de la curva de rendimiento de Nelson-Siegel. ¿Podría alguien aclarar por qué pasar por alto $\frac{b^{T}V_tb}{2t}$ conduce a oportunidades de arbitraje?

Así que básicamente estoy haciendo la siguiente pregunta:

¿Por qué el modelo anterior (con $\frac{b^{T}V_tb}{2t}$) es libre de arbitraje?

Answer 1

El documento original de Nelson Siegel describe un modelo parsimonioso de la estructura temporal utilizando solo cuatro o tres (si $\lambda_t$ esta fija). Filipovic (1999) demuestra que este modelo nunca puede ser usado en un contexto libre de arbitraje, parafraseando el abstract:

Introducimos la clase de procesos de espacio de estados consistentes, los cuales tienen la propiedad de proporcionar un modelo de tasas de interés libre de arbitraje al representar los parámetros de la familia Nelson–Siegel (NS). (Mostramos que) no existe un modelo de tasas de interés no trivial impulsado por un proceso de Itō de espacio de estados consistente.

Este problema es resuelto por Christensen et al. (2009). Ellos proporcionan algunas EDO's que deben cumplir para un AFNS y escriben que "la diferencia clave entre Dynamic NS y AFNS es el término de ajuste de rendimiento dependiente de la madurez" y muestran cómo resolver este término.

Ellos muestran que el término de ajuste de rendimiento es empíricamente pequeño y que su modelo

se desempeña bien en predicción fuera de muestra, superando consistentemente, por ejemplo, al modelo $A_0(3)$ canónico (de Duffee 2002).

Answer 2

Sea $P(t,T)$ el precio en el tiempo $t$ del bono cupón cero que vence en $T$.

La condición de no arbitraje obliga a que: $$e^{-\int_0^tr_sds}P(t,T)=\mathbb{E}[e^{-\int_0^Tr_sds}|\mathcal{F_t}],$$ donde $\mathcal{F_t}$ es la filtración de la movimiento browniano hasta el tiempo $t$. Notar que la expresión del lado derecho es un martingala por la propiedad de la torre de las expectativas, así que por el Primer Teorema del Precio de Activos, no hay arbitraje. Inmediatamente se sigue que $$P(t,T)=\mathbb{E}[e^{-\int_t^Tr_sds}],$$ lo cual resultará en la curva de rendimientos especificada anteriormente (con el término $V_t$). Por lo tanto, ignorar el término de covarianza podría resultar en arbitraje.

De hecho, me han dicho que hay una demostración que muestra que en realidad no es libre de arbitraje, pero no voy a entrar en eso.