Estoy algo atascado y no estoy seguro de cómo proceder, así que cualquier ayuda sería apreciada. Tengo el modelo de Nelson Siegel con todos los parámetros para los datos reales. La curva que se produce es la de rendimiento frente al vencimiento. Los vencimientos de los datos dados sólo proporcionan el rendimiento para 0,25 años, 1 año, 3 años, 5 años. La cuestión es encontrar el precio del bono a 0 años que vence en 2 años. Obviamente, el ajuste de la curva permite calcular cualquier vencimiento. Sin embargo, pero ¿cómo encontrar el precio real del bono en el momento 0? Sí, tenemos todos los parámetros del modelo Nelson, pero ¿cómo relacionar el rendimiento y el precio del bono?
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Sbennett
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Supongamos que tiene 4 flujos de caja con frecuencia semestral para un bono de 2 años. A continuación, se observa la curva de Nelson Seigel para los tipos al contado correspondientes a los vencimientos de 0,5, 1, 1,5 y 2 años en la curva y se descuentan todos estos flujos de caja al presente mediante estos tipos al contado.
Cube_Zombie
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174
Nelson-Siegel le ofrece tarifas cero para cualquier tenor: $$ r(t) = b_0 + (b_1 + b_2) * \frac{(1 - e^{-t / \tau})}{t/\tau} - b_2 e^{-t / \tau}, $$ donde $t$ es la fracción de año (la convención exacta depende del modelador, normalmente se elige algo simple como Actual/365 para asegurar la correspondencia uno a uno entre la fecha y la fracción de año), y $b_0$ , $b_1$ y $\tau$ son los tres parámetros del modelo.
De forma equivalente, se puede calcular el factor de descuento para cualquier plazo: $$ d(t) = e^{-r(t)\cdot t}. $$
Tienes razón al decir que el modelo te da una curva de "rendimiento", pero es importante saber que el "rendimiento" en este contexto ( $r(t)$ ) se refiere al tipo de cupón cero; se trata de los rendimientos al vencimiento de los bonos de descuento puros, sin pagos de cupones intermedios y sólo con pagos finales de capital. Por lo tanto, deben utilizarse para descontar un único flujo de caja que coincida con los plazos de los tipos. (Por supuesto, siempre se puede convertir la curva de cupón cero en curva de cupón a la par con algo de álgebra).
Ahora que tienes una curva completa, dado cualquier bono y sus flujos de caja, es trivial calcular su precio a día de hoy: $$ P = \sum_{i=1}^n c_i d(t_i), $$ donde $n$ es el número de flujos de caja, $c_i$ es el flujo de caja en el momento $t_i$ ( ${}=c/f$ o tipo de cupón dividido por la frecuencia del cupón para la mayoría de los períodos, y $100 + c/f$ en el último periodo), y $d(t_i)$ es el factor de descuento para $t_i$ como se ha definido anteriormente. Tenga en cuenta que si la fecha de liquidación ( $t = 0$ ) no es una fecha de cupón, entonces $P$ es el precio sucio. A partir de este precio, se puede calcular un rendimiento cotizado convencional al vencimiento utilizando la fórmula estándar de precio-rendimiento: $$ P = \frac{c/f}{(1 + y/f)^\omega} + \frac{c/f}{(1 + y/f)^{\omega+1}} + \cdots + \frac{100 + c/f}{(1 + y/f)^{\omega+N}} $$ donde $c$ es el tipo de cupón, $f$ es la frecuencia del cupón, y $\omega$ es la fracción de descuento del primer período (sólo se utiliza si la fecha de liquidación no es una fecha de cupón).
David Radcliffe
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Dados los rendimientos en algunos tenores, Nelson-Siegel permite interpolar el rendimiento entre tenores (o incluso extrapolar un poco más allá del último tenor).
A continuación se muestran algunas curvas de rendimiento del Tesoro estadounidense en diferentes fechas: https://www.treasury.gov/resource-center/data-chart-center/interest-rates/Pages/TextView.aspx?data=yield
Sería un buen ejercicio introducir en NS los 4 tenores que has enumerado (4m, 1y, 3y, 5y) e interpolar y extrapolar los otros tenores (no sólo 2y, sino 7y, 10y y 30y) y ver lo bien que NS se ajusta a los rendimientos observados; y luego comparar el rendimiento de NS con otras interpolaciones, como un spline cúbico, o simplemente lineal; y luego repetir este ejercicio dando a NS más y más tenores.
A veces, la gente entiende diferentes cosas por "rendimiento". Por ejemplo, el "rendimiento del cupón" es un dato indicativo estático: la cantidad de cupón que el bono paga cada año, independientemente del precio. No cambia hasta el vencimiento, excepto en el caso de algunos bonos inusuales. Lo más probable es que se refiera a rendimiento al vencimiento .
Dado el rendimiento de 2 años al vencimiento de NS, una forma intuitiva de pensar en esta cifra es que si el emisor vendiera un nuevo bono a la par con un vencimiento de 2 años, entonces el rendimiento del cupón de este nuevo bono sería esta cantidad. (Si el nuevo bono se vendiera por encima o por debajo de la par, el cupón sería mayor o menor que el rendimiento (se puede calcular en qué medida).
Si está tratando de fijar el precio de un bono que puede tener algún interés acumulado, entonces su procedimiento es:
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obtener el rendimiento al vencimiento del bono de NS. Tenga en cuenta que los rendimientos a otros vencimientos no juegan ningún papel más que el de afectar al rendimiento de su bono;
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proyectar los flujos de caja futuros del bono (cupones y capital);
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utilizar este rendimiento para descontar los flujos de caja del bono. Para la mayoría de los bonos, la fórmula para pasar del rendimiento $y$ al precio es algo parecido a
$$\mathrm{dirty\ price}=\sum_{i=1}^n\frac{\mathrm{cash\ flow}_i}{(1+\frac{y}{f})^{\mathrm{time}_i}}$$
donde $f$ es la frecuencia, $\mathrm{cash\ flow}_i$ de un bono de vainilla es
$$\mathrm{cash\ flow}_i=\left\{ \begin{array}{@{}ll@{}} \mathrm{coupon\ yield} /f, & \mathrm{if}\ i<n \\ \mathrm{coupon\ yield} /f + \mathrm{par}, & \mathrm{if}\ i=n \end{array}\right.$$
y $\mathrm{time}_i$ el tiempo para $i$ El flujo de caja es probable que sea $fi-a$ Todo ello convenientemente ajustado a la convención de comilla de su bono (obsérvese que la relación entre el rendimiento y el precio es de forma cerrada, mientras que la relación inversa entre el precio y el rendimiento probablemente requiera un solucionador numérico iterativo);
- $$\mathrm{clean\ price} = \mathrm{dirty\ price} - \mathrm{accrued}.$$
Si lo desea, puede calcular además
$$\mathrm{current\ yield} = \frac{\mathrm{coupon\ yield}}{\mathrm{clean\ price\%}}.$$
Dudo que quiera interpretar el rendimiento de NS como el rendimiento actual, y dividir el rendimiento del cupón dado del bono por el rendimiento actual para llegar inmediatamente al precio limpio.
