Ilustración del cambio de medida en Black-Scholes-Merton

Question

Digamos que tenemos el siguiente entorno: \begin{align} dS_t &= \mu S_t dt + \sigma S_t dZ_t \\ dB_t &= r B_t dt \end{align} donde $S_t$ es el precio de una acción, $B_t$ es el precio de un bono sin riesgo y $\left( Z_t \right)_{t \geq 0}$ es un movimiento browniano estándar. Es bastante fácil obtener las densidades para $S_t/S_0$ o $ln S_t - ln S_0$ tanto con las medidas físicas como con las neutrales al riesgo.

Lo que me gustaría saber, sin embargo, es cómo podría relacionar esas densidades con el factor de descuento estocástico. Sé que el FDE va a tomar la forma $$ M_t = M_0 \exp \left( -r\int_0^t ds - \frac{\eta^2}{2}\int_0^t ds - \eta \int_0^t dZ_s \right) $$ donde $\eta = \frac{\mu - r}{\sigma}$ es el ratio de Sharp. En concreto, esto hace que $M_tS_t$ y $M_tB_t$ martingalas bajo la medida física.

Lo sé, intuitivamente, $M_t$ va a aumentar la densidad para los valores más bajos de $S_t/S_0$ (y lo mismo para $ln S_t - lnS_0$ ). Sin embargo, ¿hay alguna forma de ilustrar esto?

Sé que la relación entre las densidades de riesgo neutro y físico para $S_t/S_0$ va a tener una apariencia exponencial, pero no estoy seguro de cómo vincularlo formalmente a algún aspecto del modelo. ¿Alguien sabe cómo visualizar esto?

Answer 1

El modelo

En un mundo Black-Scholes, tenemos bajo $\mathbb{P}$ \begin{align*} \text{d}S_t &= \mu S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb P \hspace{1.7cm} \implies\mathbb{E}^\mathbb{P}[S_t]=S_0e^{\mu t}, \\ \text{d}M_t &= -r M_t\text{d}t+\varphi M_t\text{d}W_t^\mathbb P \hspace{1cm} \implies\mathbb{E}^\mathbb{P}[M_t]=e^{-r t}, \\ \text{d}M_tS_t &= (\varphi+\sigma) M_tS_t\text{d}W_t^\mathbb P \hspace{1.6cm} \implies\mathbb{E}^\mathbb{P}[M_tS_t]=S_0, \end{align*} donde $M_0=1$ , $\text{d}B_t=rB_t\text{d}t$ y $\varphi=-\frac{\mu-r}{\sigma}$ es el Núcleo Girsanov .

En $\mathbb{Q}$ tenemos \begin{align*} \text{d}S_t &= \mu S_t\text{d}t+\sigma S_t\text{d}W_t^\mathbb Q \hspace{1.7cm} \implies\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_t]=S_0e^{r t}, \\ \text{d}\frac{S_t}{B_t} &= \sigma \frac{S_t}{B_t}\text{d}W_t^\mathbb Q \hspace{3.2cm} \implies\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{S_t}{B_t}\right]=S_0. \end{align*}

Las densidades

En general, $\text{d}X_t=mX_t\text{d}t+sX_t\text{d}Z_t$ con $X_0=x_0$ da lugar a un proceso en el que $X_t$ tiene una distribución log-normal para cada $t$ con función de densidad de probabilidad \begin{align*} f_{X_t}(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}x\sqrt{s^2t}}\exp\left(-\frac{1}{2}\left(\frac{\ln(x/x_0)-\left(m-\frac{1}{2}s^2\right)t}{\sqrt{s^2t}}\right)^2\right). \end{align*}

Parcelas

A continuación se muestra la densidad del precio de las acciones $S_t$ (bajo $\mathbb{P}$ y $\mathbb{Q}$ ) y la densidad del SDF $M_t$ (bajo $\mathbb{P}$ por supuesto). Utilizo $T=1$ (un año), $\mu=0.12$ , $r=0.01$ , $\sigma=0.3$ y $S_0=1$ . Trazado de las densidades de $S_T=0$ hasta $S_T=4$ es suficiente para que las densidades se integren numéricamente en uno.

Como se ve, el FAD da más importancia a los valores bajos de $S_T$ . Eso tiene sentido. El SDF se rige por la utilidad marginal y la utilidad marginal y la aversión al riesgo son altas en los estados de naturaleza malos. Del mismo modo, la densidad neutra de riesgo del precio de las acciones da más peso a los estados de naturaleza económicamente malos y reduce la probabilidad de los buenos. De este modo, reduce el precio futuro esperado de las acciones de $S_0e^{\mu t}$ a $S_0e^{rt}$ .

La imagen completa sería esta

Calculando la expectativa correspondiente a estas densidades, $\int_0^4 xf(x)\text{d}x$ , en efecto, obtenemos $S_0e^{\mu T}\approx1.1275$ para el $\mathbb{P}$ -densidad, $e^{-rt}\approx0.9899$ para la densidad de $M_t$ , $S_0e^{rT}\approx1.01$ para la densidad de $S_T$ en $\mathbb{Q}$ y, por supuesto, $S_0=1$ para las densidades de $M_TS_T$ y $\frac{S_T}{B_T}$ .