Algunos me ayudarían a completar los pasos que faltan en un ejercicio del libro de texto que queda para el lector

Question

Pregunta: Supongamos que $C_t=(1-s)Y_t-\lambda G_t$ donde $s>\sigma$ como en el modelo básico de Solow. Del gasto público, la proporción $\phi$ se invierte en la formación de capital público. Por lo tanto, suponemos que $K_{t+1}=I_t+\phi G_t+(1-\delta)K_t$

$Y_t=K^{\alpha}_tL^{1-\alpha}_t$

$Y_t=C_t+I_t+G_t$

$K_{t+1}=I_t+(1-\delta)K_t$

$L_{t+1}=(1+n)L_t$

$G_t=\sigma Y_t$

¿En qué caso el nivel de capital per cápita en estado estacionario aumentará en $\sigma$

Intento:

paso (1) $\frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t}{L_t}\frac{L^{1-\alpha}_t}{L_t}$ que es igual a $y_t=k^{\alpha}_t$

Utilizando el mismo proceso para la identidad nacional obtenemos

La evolución del capital per cápita viene dada por la siguiente ecuación:

$(1+n)k_{t+1}=i_t+\phi g_t+(1-\delta)k_t$ que luego va a:

$k_{t+1}\approx i_t+\phi g_t+(1-\delta-n)k_t$

$k_{t+1}=[k^{\alpha}_t-c_t-g_t]+\phi g_t+(1-\delta-n)k_t$

Ahora, podemos restar $k_t$ de $(1-\delta-n)k_t$ y obtenemos:

$k_{t+1}-k_t=-(n+\delta)k_t+\phi g_t+k^{\alpha}_t-c_t-g_t$

\= $(n+\delta)k_t+\phi g_t+k^{\alpha}_t - [(1-s)k^{\alpha}_t-\lambda g_t]-[\sigma k^{\alpha}_t]$

\= $-(\delta +n)k_t+\phi [k^{\alpha}_t\sigma]+k^{\alpha}_t-[(1-s)k^{\alpha}_t-\lambda [k^{\alpha}_t \sigma]]$

Podemos simplificar esto algebraicamente a:

$k_{t+1}-k_t= \phi [k^{\alpha}_t \sigma] + sk^{\alpha}_t+ \lambda[k^{\alpha}_t\sigma]+(\delta+n)k_t$

Finalmente divide ambos lados por $k_t$ y fijar el LHS igual a 0 y obtener el equilibrio de estado estacionario como:

$0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n)k_t$

Observaciones: Estoy bastante seguro de que mi cálculo es correcto (tal vez salvo la última ecuación. ¿Puede alguien confirmármelo?

Answer 1

En general es casi correcto pero hay algunos pequeños errores y está incompleto.

Primer error:

en el paso (1) escribes:

$\frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t}{L_t}\frac{L^{1-\alpha}_t}{L_t}$

Pero en realidad debería ser $$\frac{Y_t}{L_t}=\frac{K^{\alpha}_t L^{1-\alpha}_t}{L_t}$$

No se puede dividir el lado izquierdo de la ecuación por $L$ y RHS por $L L \implies L^2$ ya que, por lo general, se violará la igualdad entre $ Y= K^{\alpha}L^{1-\alpha}$ .

Sin embargo, este error no tuvo ninguna repercusión en el resto del problema porque, a pesar de cometerlo, seguiste utilizando la definición correcta de producción per cápita:   $y_t=k^{\alpha}_t$

Segundo error

dices que divides ambos lados por $k_t$ pero te olvidaste de hacerlo en el último trimestre. Escribe:

$0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n)k_t$

la ecuación correcta del estado estacionario debería ser:

$$0 = \frac{\phi[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}+\frac{sk^{\alpha}_t}{k_t}+\frac{\lambda[k^{\alpha}_t\sigma]}{k_t}-(\delta+n) \tag{*}$$

Tercer "error": Está inacabado

Utilizo aquí "error" entre comillas porque esto no es un error en el mismo sentido que otros, pero sigue sin ser una buena práctica dejar el problema sin terminar. Si lo hicieras en un examen te costaría algunos puntos (algunos profesores pueden incluso negarse a dar puntos por trabajos inacabados).

Entiendo el impulso de darlo por terminado ya que estás en la recta final pero la respuesta adecuada debería tener solución para $k^*$ (a menos que el problema indique específicamente que no quiere una solución completa, lo cual no veo en este caso en su pregunta).

Resolver la ecuación $*$ para una óptima $k^*$ rendimientos:

$$ k^* =  \left( \frac{(\phi+\lambda)\sigma +s}{\delta +n} \right)^{\frac{1}{1-\delta}}$$

Dicho lo anterior no te desanimes la mayor parte del intento fue correcto. Sólo ten más cuidado con la aritmética y no te detengas justo antes de terminar.