¿Por qué la economía escapa a los teoremas de Godel?

Question

He visto a muchos profesores decir que los teoremas de incompletitud de Godel no se aplican a la economía. Por supuesto, he visto a otros como Yanis Varoufakis, que ha dejado constancia de que muchos trabajos de economía desafían los principios básicos de la lógica, mientras que también dice que los trabajos empíricos pueden llegar a la conclusión completamente opuesta con los mismos datos; tanto un mayor como un menor poder de negociación de los sindicatos pueden alcanzar el mismo equilibrio de mejores beneficios.

Si miras el teorema de incompletitud de Godel...

https://ocw.mit.edu/courses/electrical-engineering-and-computer-science/6-080-great-ideas-in-theoretical-computer-science-spring-2008/lecture-notes/lec6.pdf

"Para cualquier sistema formal fijo de lógica F, si el sistema es sólido y computable, entonces existen afirmaciones verdaderas sobre los números enteros que no son demostrables dentro del sistema F".

1. ¿Es la economía un "sistema formal de lógica"? Si no es así, ¿está bien utilizar un razonamiento ilógico en economía? Incluso si aceptamos que algunos razonamientos pueden ser intuitivos, ¿no son las matemáticas subyacentes a gran parte de la teoría económica susceptibles, como sistema formal de lógica, del teorema de incompletitud de Godel? Si las matemáticas son incompletas, entonces cualquier teoría económica que tenga la pretensión de rigor basada en las matemáticas, no puede soportar la prueba de los teoremas de Godel.

2. Si la economía es un sistema formal de lógica, entonces ¿es sólido y computable? Supongo que todas las formulaciones matemáticas de la optimización restringida, la estática comparativa y el análisis causal en econometría son un sistema "sólido y computable" de matemáticas aplicadas, en cuyo caso se esfuerza por ser un "sistema formal de lógica que es sólido y computable". Si no es así, su esfuerzo por ser un campo de este tipo es contraintuitivo o incluso contraproducente en cierto sentido.

3. Si la economía es formal pero no es un sistema, ¿qué es entonces? ¿Es un conjunto de teorías que compiten entre sí y que son a su vez sistemas? Si no es así, ¿alberga en cada teorema o principio una especie de incompletitud en la que podemos relajar el requisito de que un conjunto de teorías funcione como un sistema coherente?

¿Tiene sentido lo que digo?

Answer 1

Los Teoremas de Incompletitud se aplican a los sistemas deductivos computables de primer orden. Esto significa que debe haber tanto un conjunto de axiomas computable como un sistema de inferencia computable. En otras palabras, hay que ser capaz de escribir un programa de ordenador que pueda responder a la siguiente pregunta: Dada una secuencia finita de oraciones, ¿se da el caso de que cada afirmación sea un axioma o se deduzca de las afirmaciones anteriores?

Además, los Teoremas de Incompletitud exigen que el sistema sea capaz de interpretar la aritmética de Peano (es decir, hablar de los enteros no negativos con más y veces).

Teniendo en cuenta estas limitaciones, estoy seguro de que no sería difícil construir un sistema axiomático de primer orden para la economía (el concepto austriaco de praxeología sería un buen punto de partida). Ahora bien, ¿podría tal sistema interpretar la aritmética de Peano? Si es así, lo único que nos dirían los Teoremas de Incompletitud es que habría ciertas afirmaciones (concretamente, sobre los números enteros) que no se pueden demostrar ni refutar. ¿Serían tales afirmaciones relevantes para alguien que estudie la teoría económica? Godel no nos lo dice. El sistema sólo sería incompleto porque podría hablar de números enteros y los números enteros son los que crean la incompletitud. El hecho de que el sistema pudiera hablar también de economía sería meramente incidental.

Creo que los teoremas de Godel (y no sólo los relativos a la incompletitud; téngase en cuenta que su tesis doctoral fue demostrar el Teorema de la Completitud) son fascinantes. Sin embargo, me temo que mucha gente exagera su importancia más allá de sus límites originales y trata de convertirlos en una gran epifanía filosófica.

Answer 2

Toda ciencia que utilice el razonamiento matemático está sujeta en algún sentido al primer Teorema de incompletitud de Goedel, pero en un sentido bastante trivial. Esto no disminuyó el éxito de, por ejemplo, la física, y no afectará en absoluto a la economía. Así que sí, en cierto sentido la economía es "incompleta", pero ese es sin duda el menor de sus problemas.

Answer 3

El Teorema de Incompletitud de Kurt Gödels es la respuesta negativa a la búsqueda del matemático Davild Hilbert, a principios del siglo XX, de un conjunto de axiomas completos y coherentes sobre los que construir el conjunto de las matemáticas. Resulta que no es posible encontrar tal conjunto. Cualquier conjunto de axiomas que sea completo dará lugar a incoherencias; y todo conjunto de axiomas que evite las incoherencias será incompleto.

Esto es todo, básicamente. Es una prueba matemática muy técnica que tiene muy poco impacto en cualquier aplicación del mundo real. Decidió una larga discusión entre matemáticos, resolviendo una cuestión hasta entonces desconocida que interesa sobre todo a los matemáticos: les dice que no tiene sentido dedicar décadas de tu vida a buscar ese conjunto de axiomas. También puso fin (o comenzó, según el punto de vista, la "crisis fundacional de las matemáticas"), que es un tema muy interesante para otra pregunta.

También hay pruebas muy interesantes, estrechamente relacionadas, que demuestran que es imposible definir la verdad dentro de un sistema formal (Teorema de la Indefinibilidad de Tarski) y que es imposible decidir si un programa dado se detendrá alguna vez para una entrada dada (Problema de detención de Alan Turing en relación con los algoritmos/computación).

Para responder a su pregunta: No conozco las definiciones formales del término "economía", pero el término "sistema formal" (del que habla el Teorema de Incompletitud) tiene una definición formal. Así que si tienes una definición de "economía" que se basa en un conjunto de axiomas y reglas de cómo inferir afirmaciones a partir de esos axiomas (y otras afirmaciones), y si contiene al menos los números enteros, entonces el CI se aplica.

De todos modos, todos los campos prácticos "escapan" a los teoremas porque ninguno de estos teoremas dice nada sobre la utilidad de dichos sistemas formales, lógicos o algoritmos. En la práctica no importa en absoluto.

_N.B., como se menciona en los comentarios, las cosas se ponen más feas pronto si se profundiza; es decir, a partir de este tipo de teoremas se puede deducir que es imposible hacer cosas en, por ejemplo, el desarrollo de software que sería muy práctico, en este sentido no es realmente justo decir que todos ellos son sólo "teóricos"._

Answer 4

La incompletitud de Godel dice que hay una dicotomía: Un conjunto de axiomas es completo o consistente, pero no ambos.

Si es completa, se puede demostrar cualquier teorema a partir de ella, pero será inconsistente, es decir, habrá paradojas ocultas en alguna parte.

Si es consistente no habrá paradojas ocultas en él, pero será incompleto, es decir, algunos teoremas no son demostrables.

¿Es la economía un "sistema formal de lógica"?

Es una colección de hechos empíricos y un conjunto de modelos matemáticos construidos sobre esos hechos. Podría ser un "sistema formal de lógica", pero eso sería por accidente.

En economía demostrar un teorema no es el criterio para saber si el modelo es malo o bueno. Lo que realmente nos importa es si el modelo es falsable y capaz de hacer predicciones (también nos importa la reproducibilidad de los experimentos).

Supongamos que se me ocurre una nueva idea (teorema) y quiero saber si es cierta: en realidad no necesito demostrarla, sólo necesito probarla empíricamente y luego añadir el resultado a mi lista de hechos conocidos. Si el resultado concuerda con un modelo ya existente, entonces bien por el modelo, ha pasado otra prueba. Si el resultado no concuerda con un modelo ya existente, entonces es malo para el modelo, debe ser descartado o reformulado.

Las pruebas siguen siendo útiles en economía (y en todas las ciencias empíricas) porque todavía hay que saber si el modelo es realmente lo que se quiere decir:

¿Has dividido por cero en alguna parte? ¿Supones que un número es siempre positivo cuando en realidad puede ser negativo? ¿Has pasado por alto algún parámetro y ahora el modelo no funciona en todas las circunstancias que pensabas?

Answer 5

al mismo tiempo que dice que los trabajos empíricos pueden llegar a la conclusión completamente conclusión opuesta con los mismos datos

Desde un punto de vista matemático, si sus suposiciones y su lógica conducen a una contradicción significa que, por reductio ad absurdum Hay un error en alguna parte.

No se puede utilizar la teoría correspondiente en ningún sitio, porque contiene una contradicción, lo que significa que falso puede derivarse de ella, y que esta teoría podría utilizarse para probar cualquier cosa .

Evidentemente, esto es un problema mucho mayor (como menciona @VARulle) que tener preguntas que no pueden ser respondidas (como afirma Teoremas de incompletitud de Gödel ).

Básicamente, si aparece una contradicción en alguna parte, hay que reconstruir toda la teoría desde cero, y comprobar cada suposición y paso lógico.