¿Mostrar que las tasas de crecimiento son iguales en BGP?

Question

Una característica de la senda de crecimiento equilibrado es que las tasas de crecimiento son iguales a lo largo de ella:

Considere las siguientes condiciones:

$y_t= Xk_t$

$y_t = c_t + i_t$

$k_{t+1} = (1-\delta)k_t$

A partir de la primera ecuación es bastante fácil mostrar $\frac{y_{t+1}}{y_t} = g_y = \frac{Xk_{t+1}}{Xk_t} = g_k$

Pero, ¿cómo puedo demostrar que otras tasas de crecimiento también son iguales? Mis notas de clase afirman:

$g_k = (1-\delta) + \frac{i_t}{k_t}$ $\implies$ $g_k = g_i$ y

$X = \frac{c_t}{k_t} + \frac{i_t}{k_t}$ $\implies$ $g_k = g_c$ .

Así que a lo largo de BGP: $g_k = g_c = g_y = g_i$ .

¿Cómo llegamos a la conclusión de los dos últimos?

Answer 1

Piensa en lo que es $g_i$ . ¿Cómo es que $g_k = (1-\delta) + \frac{i_t}{k_t}$ se relacionan con las partes de $g_i$ ? Obsérvese que el lado izquierdo de esta ecuación es constante para todo $t$ .

La misma lógica se aplica a $g_c$ y la ecuación correspondiente. ¿Qué puede decir sobre $\frac{i_t}{k_t}$ y $\frac{i_{t+1}}{k_{t+1}}$ ¿dadas las derivaciones anteriores?