Precios sin arbitraje

Question

Tenemos un contrato cuyo valor es $A(S_t,t) = S_t^3$ en todo momento, no sólo en el momento del vencimiento. $S_t$ El valor subyacente sigue un movimiento browniano geométrico, $\frac{dS}{S} = \mu dt + \sigma dB$ . ¿Cómo podríamos demostrar que esto es incompatible con la fijación de precios sin arbitraje?

Pensé que una posible solución podría ser demostrar que no es una Martingala bajo la medida Q. Básicamente, empezamos asumiendo que $A(S_t, t)$ es una martingala, lo que implica que $e^{-rt}E^Q[A_t] = A_0 = S_0^3$ . Pero, bajo la medida de riesgo neutral, sabemos que $S_t = S_0e^{(r-\frac{\sigma^2}{2})t + \sigma \sqrt{t} Z^Q}$ donde $Z$ es lo normal. De ello se deduce que $A(S_t, t) = S_t^3 = S_0^3e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ . Cálculo de la expectativa $e^{-rt}E^Q[S_t^3] = S_0^3 e^{-rt}\int_{z^*}^{\infty} \frac{dz}{\sqrt{2 \pi}} e^{\frac{-z^2}{2}}e^{3(r-\frac{\sigma^2}{2})t + 3\sigma \sqrt{t} Z^Q}$ obtenemos $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t}$ . Porque $S_0^3 e^{2rt + 3\sigma^2t} \neq S_0^3$ concluimos que $A(S_t, t)$ no es una Martingala, por lo que el hecho de que el contrato tenga valor $S_t^3$ en todo momento es incompatible con la fijación de precios sin arbitraje.

¿Funcionaría algo así? Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias.

Answer 1

Bajo la medida de riesgo neutro por aplicación de Ito: $$ dS^3_t = 3 \left[ (r + \sigma^2)S^3_t dt + \sigma S^3_t dW_t \right] $$ La deriva neutra del riesgo no es la tasa libre de riesgo y por lo tanto $S_t^3 \; \forall t$ no puede ser el precio de un crédito o de cualquier otro activo negociable.

Así que básicamente en la misma línea que su prueba, pero sin calcular las expectativas, etc. Sólo hay que ver la deriva local.