PV del derivado que paga $S_T \ln\left(S_T\right)$ al vencimiento

Question

Tenemos un derivado financiero que paga $S_T \ln\left(S_T\right)$ al vencimiento $t=T$

Asumimos un mundo Black-Scholes:

• No hay oportunidades de arbitraje.
• No hay pago de dividendos de las acciones $S_t$ .
• Existencia de un activo sin riesgo que rinde el tipo libre de riesgo
• Posibilidad de pedir prestado y prestar infinitamente a la tasa libre de riesgo.
• Posibilidad de comprar y vender infinitamente las acciones $-$ incluso cantidades fraccionarias .
• No hay costes de transacción.

También suponemos que la acción es negociable y que el derivado es alcanzable $-$ básicamente asumimos que estamos en la configuración de precios estándar.

¿Cuál es el valor actual de este derivado financiero en $t=0$ ?

Tengo entendido que el uso de la medida neutral de riesgo para calcular el PV de esta remuneración es bastante difícil. Tenemos que cambiar la medida para simplificar el cálculo.

Answer 1

Supongo que se trata de una pregunta de deberes. Sí que hay que cambiar la medida y el precio en $Q_s$ en lugar de $Q$ .

$E_{Q}(S_T.\ln(S_T)) = S_t.E_{Q_s}(\ln(S_T))$

Obsérvese que las SDE para $dS_t$ y por lo tanto $d\ln(S_t)$ ahora cambian en virtud del teorema de Girsanov.

En particular $d\ln(S_t) = (r+\frac{\sigma^2}{2})dt + \sigma dW^{Q_s}_t$

Tomando la integral entonces la expectativa, usted debe encontrar finalmente que

$PV(t) = S_t(\ln(St) + (r+\frac{\sigma^2}{2})(T-t))$